[Solution] [CQOI2016]*

是一道数位DP。可以用记忆化搜索解决。

题目地址

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这道题细节非常多。可以考虑分步进行。

• 求(L​)到(R​)之间的符合条件的数，可以等价为求( ext{1~R}​)之间的符合条件的数减去$text{1~L-1}$之间符合条件的数。

• 那我先写一个搜索求解(L​)：

void DFS (int X , int K , int U , int _4 , int _8 , int T) {
//变量名介绍：X代表当前的位数，K代表当前位所填的数字，U=1表示卡上界，否则不卡。_4和_8分别是有没有出现过4和8，T=3表示已完成三连号，否则表示未完成，且T等于当前连号。
	if (X == N - 1) {
		if (T == 3) ++ Ans ;
		return ;
	}
//如果符合条件，就累加答案。
	int Goto = Base - 1 ;
	if (U) Goto = L[X + 1] ;
//如果卡了上界，应该进行特判。
	for (int i = 0 ; i <= Goto ; ++ i) {
		if (_4 && i == 8) continue ;
		if (_8 && i == 4) continue ;
		//如果同时出现8和4就跳过这一步。
		if (T == 3) {
			DFS ( X + 1 , i , L[X + 1] == i && U ? 1 : 0 ,
            i == 4 || _4 ,i == 8 || _8 , 3) ;
		} else DFS ( X + 1 , i , L[X + 1] == i && U ? 1 : 0 ,
         i == 4 || _4 ,i == 8 || _8 , i == K ? T + 1 : 1) ;
	}
}

• 上面的代码可以在数位较少时得出正确结果。但是当数位较大((10^{10}≤L<10^{11}​))就会TLE。

• 搜索是盲目的，因为它做了很多重复性的工作。(By Instructor Li)

• 对于( ext{DFS (int X , int K , int U , int _4 , int _8 , int T)}​)，它的同一组参数所得到的结果应该是一样的。这是进行记忆化搜索的前提。

• 具体地说，开一个数组( ext{ F[20][10][2][2][2][4]})。其中六个维度分别对应( ext{DFS})的六个参数。

• 我们每次搜索完成后，把Ans的改变量(delta Ans)结果记录在上述数组里，下一次遇到同一组参数，只要在(Ans)增加上已记录的答案，然后返回即可。

• 改进版本：

void DFS (int X , int K , int U , int _4 , int _8 , int T) {
//这一部分的变量名解释和刚才一样。
	if (X == N - 1) {
		if (T == 3) ++ Ans ;
		return ;
	}
	if (F[X][K][U][_4][_8][T] != -1) {
		Ans += F[X][K][U][_4][_8][T] ;
		return ;
	}
	//遇到同一组参数，只要在$Ans$增加上已记录的答案，然后返回即可。
	F[X][K][U][_4][_8][T] = Ans;
	int Goto = Base - 1 ;
	if (U) Goto = L[X + 1] ;
	for (int i = 0 ; i <= Goto ; ++ i) {
		if (_4 && i == 8) continue ;
		if (_8 && i == 4) continue ;
		if (T == 3) {
			DFS ( X + 1 , i , L[X + 1] == i && U ? 1 : 0 , i == 4 || _4 ,i == 8 || _8 , 3) ;
		} else DFS ( X + 1 , i , L[X + 1] == i && U ? 1 : 0 , i == 4 || _4 ,i == 8 || _8 , i == K ? T + 1 : 1) ;
	}
	F[X][K][U][_4][_8][T] = Ans - F[X][K][U][_4][_8][T] ;
	//把Ans的改变量δAns结果记录在上述数组里
}

• 这个版本已经可以快速完成求解。

其他要点：

• 注意开( ext{long long})
• 注意细节，例如(L-1)的边界情况。

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