[LuoguP4426][AHOI2018]毒瘤(动态DP)
题面
给出一个(n)个点(m)条边的无向图,求独立集个数。
(n leq 10^5,n-1 leq m leq n+10)
分析
注意到(|m-n|)很小,我们可以暴力枚举这些非树边((u,v))的状态,按两边选和不选有(0,0)(0,1)(1,0)三种。其实可以合并为2种:
- (u)强制不选,(v)可任意选
- (u)强制选,(v)强制不选
那么直接暴力枚举每条边的状态,然后在树上修改,做动态DP即可。
设(f_{x,0},f_{x,1})分别表示(x)不选/选,(x)子树中的独立集个数,那么:
(f_{x,0}=1+prod_{y in child(x)} (f_{y,0}+f_{y,1}))
(f_{x,1}=1+prod_{y in child(x)} f_{y,0})
最终答案为(f_{x,0}+f_{x,1})
记
(g_{x,0}=1+prod_{y in child(x)-{son(x)}} (f_{y,0}+f_{y,1}))
(g_{x,1}=1+prod_{y in child(x)-{son(x)}} f_{y,0})
g维护了所有轻儿子的DP贡献，那么有：
(f_{x,0}=(f_{son(x),0}+f_{son(x),1})cdot g_{x,0})
(f_{x,1}=f_{son(x),0} cdot g_{x,1})
写成矩阵的形式(注意这里是+,(cdot)矩阵乘法)
[egin{bmatrix}f_{x,0} \ f_{x,1} end{bmatrix}=egin{bmatrix}g_{x,0} g_{x,0} \ g_{x,1} 0 end{bmatrix} egin{bmatrix}f_{son(x),0} \ f_{son(x),1} end{bmatrix}
]
记(m{M_x}=egin{bmatrix}g_{x,0} g_{x,0} \ g_{x,1} 0 end{bmatrix})。为了处理强制选和不选的情况,我们还需要对每个节点定义一个矩阵(m{C_x}),求区间矩阵积的时候把乘(m{M_x})变成乘(m{C_xM_x})
注意到(egin{bmatrix} 0 0 \ 0 1end{bmatrix}egin{bmatrix}f_{x,0} \ f_{x,1} end{bmatrix}=egin{bmatrix}0 \ f_{x,1} end{bmatrix}),于是使得(f_{x,0}=0),那么(m{C_x}=egin{bmatrix} 0 0 \ 0 1end{bmatrix})就表示强制选(x).同理(m{C_x}=egin{bmatrix} 1 0 \ 0 0end{bmatrix})就表示强制不选(x),(m{C_x}=egin{bmatrix} 1 0 \ 0 1end{bmatrix})就表示选和不选(x)均可。于是枚举的时候单点修改即可。
但是还有一个问题,在动态DP的过程中,我们需要把儿子的影响从父亲中消除,也就是说要做除法。但是万一(f_y=0),就会出现除0的问题。于是我们可以对于每个(f)和(g)值,记录它们被乘进去了几个0,做除法的时候0的个数会减少。如果减到了0,就变成了它们的真实值。具体实现可以定义一个新的类,重载它的*,/运算符
struct mynum { //为了消除下方g对上方g的影响，要支持撤回乘0操作
ll val;
int cnt;//记录被乘上去的0个数
mynum() {
val=cnt=0;
}
mynum(ll _val) {
if(_val==0) val=cnt=1;
else val=_val,cnt=0;
}
friend mynum operator * (mynum p,mynum q) {
mynum ans;
ans.val=p.val*q.val%mod;//把0的val设为1,这样乘的时候val就不变
ans.cnt=p.cnt+q.cnt;
return ans;
}
friend mynum operator / (mynum p,mynum q) {
mynum ans;
ans.val=p.val*inv(q.val)%mod;
ans.cnt=p.cnt-q.cnt;
return ans;
}
ll value() {
if(cnt==0) return val;
else return 0;
}
};
用LCT实现,复杂度(O(n+m+2^{m-n}log n)),常数还可以。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define maxn 200000
#define mod 998244353
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> void qread(T &x) {
x=0;
T sign=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {
if(c=='-') sign=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9') {
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
x=x*sign;
}
template<typename T> void qprint(T x) {
if(x<0) {
putchar('-');
qprint(-x);
} else if(x==0) {
putchar('0');
return;
} else {
if(x>=10) qprint(x/10);
putchar('0'+x%10);
}
}
inline ll fast_pow(ll x,ll k) {
ll ans=1;
while(k) {
if(k&1) ans=ans*x%mod;
x=x*x%mod;
k>>=1;
}
return ans;
}
inline ll inv(ll x) {
return fast_pow(x,mod-2);
}
int n,m;
struct edge {
int from;
int to;
int next;
} E[maxn*2+5];
int head[maxn+5];
int esz=1;
void add_edge(int u,int v) {
esz++;
E[esz].from=u;
E[esz].to=v;
E[esz].next=head[u];
head[u]=esz;
}
struct mynum { //为了消除下方g对上方g的影响，要支持撤回乘0操作
ll val;
int cnt;//记录被乘上去的0个数
mynum() {
val=cnt=0;
}
mynum(ll _val) {
if(_val==0) val=cnt=1;
else val=_val,cnt=0;
}
friend mynum operator * (mynum p,mynum q) {
mynum ans;
ans.val=p.val*q.val%mod;//把0的val设为1,这样乘的时候val就不变
ans.cnt=p.cnt+q.cnt;
return ans;
}
friend mynum operator / (mynum p,mynum q) {
mynum ans;
ans.val=p.val*inv(q.val)%mod;//把0的val设为1,这样乘的时候val就不变
ans.cnt=p.cnt-q.cnt;
return ans;
}
ll value() {
if(cnt==0) return val;
else return 0;
}
};
mynum mat[maxn+5][2][2];//存储每个点的初始矩阵
struct matrix {
ll a[2][2];//因为矩阵乘法需要加减,这里不能用mynum
matrix() {
a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=0;
}
ll* operator [](int i) {
return a[i];
}
friend matrix operator * (matrix p,matrix q) {
matrix ans;
for(int i=0; i<=1; i++) {
for(int j=0; j<=1; j++) {
for(int k=0; k<=1; k++) {
ans[i][j]=(ans[i][j]+p[i][k]*q[k][j]%mod)%mod;
}
}
}
return ans;
}
void print(){
for(int i=0;i<=1;i++){
for(int j=0;j<=1;j++) printf("%lld ",a[i][j]);
printf("
");
}
}
};
matrix cho[maxn+5];//修改用,如果a[x][0][0]=0,那么乘完之后f[x][0]=0,表示强制不选。如果a[x][1][1]=0,表示强制选
struct LCT {
#define lson(x) (tree[x].ch[0])
#define rson(x) (tree[x].ch[1])
#define fa(x) (tree[x].fa)
struct node {
int fa;
int ch[2];
matrix v;
} tree[maxn+5];
inline bool is_root(int x){
return !(lson(fa(x))==x||rson(fa(x))==x);
}
inline int check(int x){
return rson(fa(x))==x;
}
void push_up(int x){
tree[x].v[0][0]=mat[x][0][0].value();
tree[x].v[0][1]=mat[x][0][1].value();
tree[x].v[1][0]=mat[x][1][0].value();
tree[x].v[1][1]=mat[x][1][1].value();
tree[x].v=cho[x]*tree[x].v;
if(lson(x)) tree[x].v=tree[lson(x)].v*tree[x].v;
if(rson(x)) tree[x].v=tree[x].v*tree[rson(x)].v;
}
void rotate(int x){
int y=fa(x),z=fa(y),k=check(x),w=tree[x].ch[k^1];
tree[y].ch[k]=w;
tree[w].fa=y;
if(!is_root(y)) tree[z].ch[check(y)]=x;
tree[x].fa=z;
tree[x].ch[k^1]=y;
tree[y].fa=x;
push_up(y);
push_up(x);
}
void splay(int x){
while(!is_root(x)){
int y=fa(x);
if(!is_root(y)){
if(check(x)==check(y)) rotate(y);
else rotate(x);
}
rotate(x);
}
}
void access(int x){
for(int y=0;x;y=x,x=fa(x)){
splay(x);
if(rson(x)){
mat[x][0][0]=mat[x][0][0]*mynum(tree[rson(x)].v[0][0]+tree[rson(x)].v[1][0]);
mat[x][1][0]=mat[x][1][0]*mynum(tree[rson(x)].v[0][0]);
}
rson(x)=y;
if(rson(x)){
mat[x][0][0]=mat[x][0][0]/mynum(tree[rson(x)].v[0][0]+tree[rson(x)].v[1][0]);
mat[x][1][0]=mat[x][1][0]/mynum(tree[rson(x)].v[0][0]);
}
mat[x][0][1]=mat[x][0][0];
push_up(x);
}
}
ll query(){
splay(1);
return (tree[1].v[0][0]+tree[1].v[1][0])%mod;
}
void set(int x,bool is_chosen){
access(x);
splay(x);
if(is_chosen) cho[x][0][0]=0;//a[0][0]=0,乘上[f[x][0],f[x][1]]后只剩下f[x][1],表示强制选
else cho[x][1][1]=0;
push_up(x);
}
void revert(int x,bool is_chosen){
access(x);
splay(x);
if(is_chosen) cho[x][0][0]=1;
else cho[x][1][1]=1;
push_up(x);
}
}T;
ll f[maxn+5][2];
void ini_dfs(int x,int fa){
cho[x][0][0]=cho[x][1][1]=1;//一开始表示选和不选均可
f[x][0]=f[x][1]=1;
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(y!=fa){
ini_dfs(y,x);
f[x][0]=f[x][0]*(f[y][0]+f[y][1])%mod;
f[x][1]=f[x][1]*f[y][0]%mod;
}
}
mat[x][0][0]=mat[x][0][1]=mynum(f[x][0]);
mat[x][1][0]=mynum(f[x][1]);
mat[x][1][1]=mynum(0);
T.tree[x].fa=fa;
T.push_up(x);
}
struct disjoint_set{
int fa[maxn+5];
void ini(int n){
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
}
int find(int x){
if(fa[x]==x) return x;
else return fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y){
fa[find(x)]=find(y);
}
}S;
vector< pair<int,int> >ed; //存储非树边
//非树边(u,v)有三种情况(0,0) (0,1) (1,0),前两种可以合在一起,表示u强制不选。后一种是u强制选
//那么我们可以状压枚举情况1
//若第j位为1,则u[j]强制选。若第j位为0,则u[j]强制不选
ll ans=0;
int main() {
int u,v;
qread(n);
qread(m);
S.ini(n);
for(int i=1;i<=m;i++){
qread(u);
qread(v);
if(S.find(u)!=S.find(v)){
S.merge(u,v);
add_edge(u,v);
add_edge(v,u);
}
else ed.push_back(make_pair(u,v));
}
ini_dfs(1,0);
// solve(0,0);
int sz=ed.size();
for(int i=0;i<(1<<sz);i++){
for(int j=0;j<sz;j++){
int u=ed[j].first,v=ed[j].second;
if(i&(1<<j)){
T.set(u,1);//u强制选
T.set(v,0);//v强制不选 (1,0)
}else{
T.set(u,0);//u强制选,v选不选均可 (0,0) (0,1)
}
}
ans=(ans+T.query())%mod;
for(int j=0;j<sz;j++){
int u=ed[j].first,v=ed[j].second;
if(i&(1<<j)){
T.revert(u,1);
T.revert(v,0);
}else{
T.revert(u,0);
}
}
}
printf("%lld
",ans);
}
/*
3 3
1 2
1 3
2 3
*/