[APIO 2010] [LOJ 3144] 奇怪装置 (数学)

[APIO 2010] [LOJ 3144] 奇怪装置 (数学)

题面

略

分析

考虑t1,t2时刻坐标相同的条件

[egin{cases} t_1+lfloor frac{t_1}{B} floor equiv t_2+lfloor frac{t_2}{B} floor (mathrm{mod} A) \ t_1 equiv t_2 (mathrm{mod} B)\ end{cases} ]

由第二个式子，可以令(t_1=t_2+Bk(k in N))
代入式子1，(t_2+Bk+lfloor frac{t_2}{B}+k floor equiv t_2+lfloor frac{t_2}{B} floor(mathrm{mod} A))
消元得((B+1)k equiv 0 (mathrm{mod} A))
因此(k|frac{A}{gcd(A,B+1)}),
代入上式，(t_1=t_2+Bfrac{A}{gcd(A,B+1)}(k in N))
(t_1 equiv t _2 (mathrm{mod} frac{AB}{gcd(A,B+1)}))

因此，可以把l,r取模(frac{AB}{gcd(A,B+1)}),然后问题就变成在([0,frac{AB}{gcd(A,B+1)}])上有若干条线段，求线段的并
直接排序再(O(n))扫一遍即可
注意(frac{AB}{gcd(A,B+1)})可能会超过long long范围，但注意到l,r都(leq 2 imes 10^{18}),如果(frac{AB}{gcd(A,B+1)})超过就强行设成$ 2 imes 10^{18}$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm> 
#define maxn 1000000
#define maxr 2e18
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,A,B;
inline ll gcd(ll a,ll b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
 
struct seg{
	ll l;
	ll r;
	seg(){
		
	}
	seg(ll _l,ll _r){
		l=_l;
		r=_r;
	}
	friend bool operator < (seg p,seg q){
		if(p.l==q.l) return p.r<q.r;
		else return p.l<q.l; 
	}
}a[maxn+5],b[maxn*2+5];
int cnt=0;
int main(){
	scanf("%I64d %I64d %I64d",&n,&A,&B);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%I64d %I64d",&a[i].l,&a[i].r);
	}
	ll C=A/gcd(A,B+1);
	if(maxr/B<=C) C=maxr; //B*C<=2e18 
	else C=C*B;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i].r-a[i].l>=C){
			printf("%I64d
",C);
			return 0;
		}
		if(a[i].l%C<=a[i].r%C){
			b[++cnt]=seg(a[i].l%C,a[i].r%C);	
		}else{
			b[++cnt]=seg(0,a[i].r%C);
			b[++cnt]=seg(a[i].l%C,C-1);
		} 
	}
	sort(b+1,b+1+cnt);
//	cnt=unique(b+1,b+1+cnt)-b-1;
	ll l=b[1].l,r=b[1].r;
	ll ans=0;
	for(int i=2;i<=cnt;i++){
		if(b[i].l>r+1){
			ans+=(r-l+1);
			l=b[i].l;
			r=b[i].r;
		}else if(b[i].r>r){
			r=b[i].r;
		}
	} 
	ans+=r-l+1;
	printf("%I64d
",ans);
}