初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。
有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背
包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了F[0]为0，其
它F[1..V ]均设为−∞，这样就可以保证最终得到的F[V ]是一种恰好装满背包的
最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该
将F[0..V ]全部设为0。
这是为什么呢？可以这样理解：初始化的F数组事实上就是在没有任何物
品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量
为0的背包可以在什么也不装且价值为0的情况下被“恰好装满”，其它容量的
背包均没有合法的解，属于未定义的状态，应该被赋值为-∞了。如果背包并非
必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的
价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状
态转移之前的初始化进行讲解。
01背包问题
题目描述
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
样例
输入样例：
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8
朴素做法
状态转移方程：
定义f[i][j]:前i个物品，背包容量j下的最优解
1）当前背包容量不够（j < w[i]），为前i-1个物品最优解：f[i][j] = f[i-1][j]
2）当前背包容量够，判断选与不选第i个物品
选：f[i][j] = f[i-1][j-w[i]] + v[i]
不选：f[i][j] = f[i-1][j]
时间复杂度&空间复杂度：均为O(V N)
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int f[N][N];// f[i][j]表示前i件物品恰放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值
int w[N];//价值
int v[N];//重量
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i = 1;i <= n; i++){
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i = 1;i <= n;i++){
for(int j = 1; j <= m ;j++)
if( j < v[i])//如果装不下，价值等于前i-1个物品
f[i][j] = f[i-1][j];
else //能装下，只考虑第i件物品的策略（放或不放）
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
cout<<f[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
return 0;
}
优化空间复杂度为O（V），使用滚动数组
状态转移方程为：f[j] = max(f[j], f[j-w[i]] + v[i]
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int f[N];// f[i][j]表示前i件物品恰放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值
int w[N];//价值
int v[N];//重量
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i = 1;i <= n; i++){
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i = 1;i <= n;i++){
for(int j = m; j >= v[i];j--)
f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
for(int i=1;i<=m;i++)
cout<<f[i]<<" ";
cout<<endl;
return 0;
}
完全背包
题目描述
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
样例
输入样例：
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
朴素做法
基本思路
这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从
每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、
取1件、取2件……直至取⌊V /Ci⌋件等很多种。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 0; j <= m; j ++ )
for (int k = 0; k <= j / v[i]; k ++ )
f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
转化为01背包问题求解
优化思路
列举一下更新次序的内部关系：
f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max( f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-2*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系：
f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])
有了上面的关系，那么其实k循环可以不要了，核心代码优化成这样：
for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
f[i][j] = f[i-1][j];
if(k*v[i]<=j)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
这个代码和01背包的非优化写法很像啊!!!我们对比一下，下面是01背包的核心代码
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
{
f[i][j] = f[i-1][j];
if(j-v[i]>=0)
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
两个代码其实只有一句不同（注意下标）
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//01背包
f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//完全背包问题
因为和01背包代码很相像，我们很容易想到进一步优化。核心代码可以改成下面这样
for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)//注意了，这里的j是从小到大枚举，和01背包不一样
{
f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
最终优化代码：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
{
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)
{
f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
cout<<f[m]<<endl;
}
多重背包
题目描述
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100
样例
输入样例：
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略
微一改即可。
因为对于第i种物品有Mi+1种策略：取0件，取1件……取Mi件。令F[i, v]表
示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大价值，则有状态转移方程：
F[i，v] = max{F[i 1, v k ∗ Ci] + k ∗ Wi | 0 ≤ k ≤ Mi}
复杂度是O(V ΣMi)。
朴素做法
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n,m;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i = 1;i<=n;i++){
cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j = 0;j<=m;j++)
for(int k = 0;k<=s[i]&&k<=j/v[i];k++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
cout<<f[n][m];
return 0;
}