设 (A) 为 (n) 阶实对称矩阵，则 (A) 可以分解为 (A=Q Lambda Q^T)，其中
(Q=[q_1,q_2,...,q_n]) ， (q_i)为 (A) 的特征向量且 (QQ^T=I) ，
(Lambda=diag[lambda_1,lambda_2,...,lambda_n]) ，(lambda_i)为 (A) 的特征值。
令 (P=Q^T)，(y=Px) ，
则对于二次型 (x^{T}Ax) ，有 (x^{T}Ax=x^{T} Q Lambda Q^T x = x^{T} P^{T} Lambda P x =y^T Lambda y) 。
可以看到，通过线性变换 (y=Px)，二次型被转化成了标准型（不含交叉项的二次型）。
关于该线性变换，有三点值得说明。
(1.)
由于线性变换 (y=Px) 是正交变换，且 (x^{T}Ax=y^T Lambda y)，因此原二次型经过旋转和反射就可以得到标准型。
因此对任何一个二次型，都存在对应的标准型，使得二者的“形状”完全相同。
(2.)
在变换 (y=Px) 中，若 (x) 为 (A) 的单位特征向量 (q_i)，则 (y=Px=Q^{T}q_i= egin{bmatrix} q_1^T \ q_2^T \ vdots \ q_n^T \ end{bmatrix} q_i=e_i )
可见 (A) 的单位特征向量都被变换成了自然基向量。
(3.)
线性变换 (y=Px) 也可以看作是坐标变换。
设自然坐标系为 C0，以 (A) 的单位特征向量为基向量的坐标系为 C1，对任意 (n) 维向量，令其在 C0 下的坐标为 (x) ，在 C1 下的坐标为 (y)，则有 (Ix=Qy) 。
由于 (Q^{-1}=Q^{T}=P)，因此 (y=Px) ，可见变换 (y=Px) 表示了一个从 C0 到 C1 的坐标变换，且在坐标系 C1 下，二次型是不含交叉项的，如下图所示：
