单变量微积分笔记16——定积分的应用1（对数与面积）

在对数上的应用

　　解微分方程 L’(x) = 1/x，直接用积分法求解，得到L(x) = lnx；用微积分第二基本定理，可直接写作：

 

　　如果我们把这个函数作为对数的定义，就可以很容易地解释对数的性质。

构图

　　本例可以得到几个性质：

　　L(1) = 0，在该点的斜率L’(1) = 1；L’(x) = 1/x，在x > 0时L’(x) > 0，说明L(x)在x > 0上是递增的；L’’(x) = - 1/x² < 0，说明L(x)是凹函数，L’递减，即L的切线斜率递减，现在根据这几个性质作图（可参考数学笔记7——曲线构图）：

　　实际上，L(x)将会和y=1相交于点(e, 1)，e就是使L(x) = 1时x的值：

L(ab) = L(a) + L(b)

　　我们尝试用微积分表示法解释L(ab) = L(a) + L(b)

　　这是对数的基本运算公式之一，ln(ab) = ln(a) + ln(b)，如果用微积分作为对数的定义，则：

　　结合定积分的性质：

　　这样问题就转换成了如何证明  

　　这个证明需要一个称为变量替换法的技巧，通过该方法巧妙地给出证明。

　　可以将积分的上下限看成b和1放缩了a倍：

 

　　令t = au，无穷小量dt = dau = adu，即du放缩了a倍：

　　下限，当t = a时，L(a) = 1/a = 1/au，故t = a时，u = 1；

　　上限，当t = ab时，L(ab) = 1/ab = 1/au，故t = ab时，u = b

　　由此知道了转换后的积分上下限：

　　问题得证。

L(1/a) = -L(a)

　　这是对数的另一个基本运算公式，ln(1/a) = -ln(a)

　　如果L(1/a) = -L(a)成立，那么有

　　令t = u/a，无穷小量dt = du/a，即du放缩了1/a倍：

　　下限，当t = 1时，L(1) = 1 = 1/(u/a) = a/u ，故t = 1时，u = a；

　　上限，当t = 1/a时，L(1/a) = a = a/u，故t = 1/a时，u = 1

　　由此知道了转换后的积分上下限：

　　问题得证。

在几何上的应用

　　定积分可用来求得两条曲线间的面积，如下图所示，求g(x)和f(x)在a，b之间围成的面积：

　　我们将待求面积切割成小矩形，矩形的宽度是dx，高度≈f(x) – g(x)，所以所求面积：

 

　　a,b,f(x),g(x)代表了图形的四个边界，知道这些边界就可以确定面积，也就是求得定积分的值。这些条件都是必须的，如果漏掉上限或下限，就不知道左右边界，如果连边界都不知道，如何求出面积？同理不能漏掉f(x)和g(x)，它们代表了上下边界。

示例1

　　求曲线x = y²和y = x – 2围成的面积。

　　很容易求得两条曲线的交点是(4, 2)和(1, -1)，图形如下：

 

　　首先想到利用前面的公式计算面积，但问题在这里似乎没那么简单。当我们纵向切割矩形时，发现矩形并不总是由x = y²和y = x – 2围成；在x < 1时，仅由x = y²围成，如下图所示：

 

　　上图的绿色虚线将面积分为左右两块。

　　首先将x = y²转换为x的函数：

　　右侧的面积实际是由y = x^1/2 和y = x -2围成：

 

　　左侧的面积由 y = x^1/2 和 y = -x^1/2 围成：

　　现在换一种更简单的解法，我们尝试横向切割矩形：

　　这需要将原函数变为x关于y的函数，相当于将图像逆时针旋转90度：

　　一切都清晰了。

 

示例2

　　计算下图sinx和cosx前两次相交所围成的面积

　　由此可见，定积分可以计算我们过去无法计算的面积。

总结

1.  可以看作对数的定义，从而解释对数的各个性质。
2. 可以使用   计算两条曲线所围的面积。

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