线性代数笔记30——相似矩阵和诺尔当型

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长方矩阵与正定矩阵

　　我们之前一直在讨论方阵，但大量的实际问题应用到了长方矩阵，比如在最小二乘中用到了A^TA。

　　如果A是一个m×n的长方矩阵，那么A^TA是一个对称矩阵，当然也是方阵，我们感兴趣的是A^TA的正定性。对于A^TA来说，我们对它的特征向量和行列式一无所知，需要根据x^T(A^TA)x > 0来判断其正定性：

　　当且仅当Ax=0时，上式等于0，因此只需要看看什么时候Ax=0。

　　我们在矩阵零空间中讨论过，对于一个m×n的长方矩阵来说，如果是矩阵是列满秩，m > n，那么该矩阵的零空间只有零向量。因此，当A是列满秩的矩阵时，仅当x=0时Ax=0，此时对于任意非零向量，一定有x^T(A^TA)x > 0，A是正定的。

相似矩阵

　　A和B都是n×n的方阵，若存在可逆矩阵M，使得B=M^-1AM，则称A和B互为相似矩阵，记作A~B。

相似矩阵与特征值

　　实际上我们早就见过相似矩阵。如果A有n个线性无关的特征向量，则A可以对角化为A=SΛS^-1，相当于S^-1AS=Λ，A和其特征值矩阵Λ互为相似矩阵，这里的M=S，是特征向量矩阵。实际上A的相似矩阵有很多，我们可以用任意可逆矩阵M代替S，从而求得其他的相似矩阵，Λ是众多相似矩阵中最简洁的一个。

　　召唤一个矩阵：

　　Λ和A互为相似矩阵。如果取另一组可逆矩阵，可以得到A的另一个相似矩阵：

　　观察B会发现，它的迹是4（特征向量之和），行列式是3（特征向量之积），这暗示我们B的特征向量和A相同。实际上这正是相似矩阵的特性：相似矩阵具有同样的特征值。实际上所有特征是是3和1的二阶矩阵都是A的相似矩阵。

　　为什么相似矩阵会出现相同的特征值呢？现在设A和B互为相似矩阵，B=M^-1AM，根据特征方程：

　　现在出现了新的特征方程，B的特征向量是M^-1x，特征值是λ，和A的特征值一致。当然，别指望特征向量也相同，如果特征向量也相同，就变成了完全相等的同一个矩阵。

相似矩阵的性质

对于B=M^-1AM

　　设A，B和C是任意同阶方阵，则有：

　　（1）反身性：A~A

　　（2）对称性：若A~B，则B~A

　　（3）传递性：若A~B，B~C，则A~C

　　（4）若A~B，则二者的特征值相同、行列式相同、秩相同、迹相同。

　　（5）若A~B，且A可逆，则B也可逆，A^-1~B^-1。

特征值相等的情况

　　当A的所有特征值互不相同时，A必然存在n个线性无关的特征向量，此时A能够对角化；如果存在完全相等的特征值，是否能够对角化就不好说了，需要另行判断，我们对这类矩阵的相似矩阵同样感兴趣。

　　上面的对角矩阵有两个相同的特征值：λ₁=λ₂=4，如果A有相似矩阵，我们看看这个相似矩阵是什么：

　　此时A的相似矩阵是A本身，类似A这种特征值重复的对角矩阵，它们只和自己相似。

　　

　　另一种特征值相同的矩阵则可能有很多相似矩阵，两个特征值都是4的这类矩阵中最简洁的是：

　　

　　这个矩阵无法对角化，如果它能对角化，那么：

　　这显然是不成立的。类似A的矩阵虽然有完全相同的特征向量，但无法对角化，比如把右上角的元素1改成其他值。其中A是这类矩阵中最简单的一个，称为诺尔当标准型。

诺尔当标准型

　　诺尔当指出，对于特征值完全相同的方阵A，就算不能对角化，也一定能够通过变换得到与对角矩阵很接近的诺尔当标准型。具体来说，对于方阵A，一定有同样规模的可逆矩阵P，使得P^-1AP=J，J是诺尔当标准型。

　　诺尔当标准型到底是个啥？举个例子：

　　上面的矩阵就是诺尔当标准型，其中空白区域的元素全是0，每一个红色方块是一个诺尔当块。每个诺尔当块都要满足两个性质：主对角线元素完全相同（特征值完全相同），主对角线上方的次对角线元素全为1（如果有次对角线的话）。上面的矩阵是5个诺尔当块构成的，其中[4]比较特别，它只有主对角线，没有次对角线，是大小为1的诺尔当块。

　　若尔当标准型是由若干个若尔当块按对角排列组成的准对角矩阵。

　　有时候，诺尔当标准型不是那么容易辨别。来看几个诺尔当标准型：

　　J₁和J₂比较容易：

　　J₃不是诺尔当标准型，它的次对角线是1，主对角线元素不全相等。

　　J₄也是诺尔当标准型，包含了三个大小为1的诺尔当块。

诺尔当标准型与相似矩阵

　　诺尔当告诉我们，如果一类矩阵可以化为相同的标准诺尔当型J，则这些矩阵全部是相似矩阵，都可以用P^-1JP来表示。

　　A是诺尔当标准型，把右上角的元素1改成其他值，同样可以转换成A的形式，它们都是相似矩阵。

　　下面的一组也是相似矩阵：

　　B的第一个块可以很容易地通过矩阵变换转换成诺尔当块。

　　如果两个同阶矩阵有相同数量的诺尔当块，但尺寸不同，则这两个矩阵不是相似矩阵：

　　C由一个大小为3和1的诺尔当块构成，D由两个大小为2的诺尔当块构成，虽然诺尔当块的数量相同，但尺寸不同，它们并不是相似矩阵。

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　　出处：微信公众号 "我是8位的"

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