这一节我们试图解决这样一个问题：
给定一个长度为 (n) 的串 (s)，求其最长回文子串。(n leq 10^7).
大体分析
貌似有 (n^2) 个供选择的子串，于是似乎很难有线性的做法。
算法一 暴力 (mathcal{O}(n^3))
比较屑。把 (n^2) 个子串枚举出来，一个个验证。
算法二 动态规划 (mathcal{O}(n^2))
很显然不能考虑去枚举子串了。
考虑快速判断回文。假设我们已经知道 (s_{i cdots j}) 的 回文性（即是否回文），如何知道 (s_{i-1 cdots j+1}) 的回文性？
很显然。如果用 ( ext{hw}(s) = 0 / 1) 表示其回文性，(1) 为回文的话：
(|) 就是位运算中的 (|) 符号。
很显然，只有 (s_{i cdots j}) 回文且多出的一位可以匹配成功的情况下，(s_{i-1 cdots j+1}) 才是回文。
这样我们可以得到一个有些玄学的 “( ext{dp})” 做法。
考虑求出所有的 ( ext{hw}) 值，利用刚才的动态规划转移方程，把这玩意儿搞成 区间动规，于是可以 (mathcal{O}(n^2)) 完事了。
算法三 朴素做法 (mathcal{O}(n^2))
基于算法二，考虑一个不基于动态规划，而基于暴力的做法。
比如 abbcbbc 中，b , bcb , bbcbb 均为回文子串，其特点在于 中心一样。
于是我们可以枚举中心字符，然后不断向两边扩展，这个思路也很好理解。
但是对于偶数个字符的问题，貌似解决不了。
一个方法是，枚举完奇数之后，枚举 (s_i = s_{i+1}) 的所有 (i)，再向两边扩展。
这个方法比较易懂一些。但是下面我们要介绍一个，更贴合 ( ext{manacher}) 特点的解决方案。
考虑本来的串是 abbcbbc，对于偶数回文子串 bb，考虑只枚举一个中心就做完的方案。
也就是这样操作：将原串每两个字符的间隔内加上一个新的，原串中没有的字符，一般用 # 表示。即
$ exttt{abbcbbc}
ightarrow $ #( exttt{a})#( exttt{b})#( exttt{b})#( exttt{c})#( exttt{b})#b#( exttt{c})#
这样你会发现一件事。对于原来就有的字符，枚举其中心的做法没有问题，只不过要对长度进行处理罢了，这样解决了奇数回文的情况；而对 # 的中心扩展方案，则是解决了偶数回文的情况。
这样子串长度翻了一倍，但循环一遍即可解决，较为简单。
于是，我们管这个算法叫 “朴素算法”。虽然 (mathcal{O}(n^2)) 的复杂度不优于上述动态规划的复杂度，但在思维上已经跨出了一大步。
算法四 ( ext{manacher} space mathcal{O}(n))
质的飞跃即将到来了。
先着手解决奇数串。因为上述添加 # 的操作，偶数串用同样的代码即可求出。
令 (d) 表示以 (i) 为中心的奇数串的个数，方便记忆。
下面考虑 (d_{i-1} ightarrow d_i) 怎么做。为方便，我们令 (l,r) ，其中 (r) 是当前回文子串最右侧的位置，(l) 为其对应的子串左端点。
如果 (i>r)，我们只能调用朴素算法。因为与前面的元素无法形成联系。
另外 (i leq r) 的情况比较难解决。
由于 (i) 包含在 (s_{l cdots r}) 的回文串中，则必然存在 (s_i = s_{l+r-i})，并且 在该范围内，以 (l+r-i) 为中心的回文子串必然也有与其对应的以 (i) 为中心的回文子串。注意 “在该范围内”。此时令 (j = l+r-i).
于是是否意味着 (d_i = d_j) 呢？不是的。
因为很有可能，以 (j) 为中心的最长回文子串的左端点超出了 (l)，此时就不一定会产生对应关系。也就是 (j - d_j < l) 的时候，需要分类讨论。
考虑这个时候，我们用朴素算法求解。也就是暴力拓展。
无论什么情况，不要忘记维护 (l,r) 的值。
算法讲完了。可你觉得这是对的么？
时间复杂度证明
简单地证明，( ext{manacher}) 算法的时间复杂度是线性 (mathcal{O}(n)) 的。
因为很显然，(r) 只会不断变大（或不变）。每一次朴素做法都是将 (r) 不断扩大，再至多从 (r) 开始继续暴力搜。
这样 (r uparrow) 的复杂度是 (mathcal{O}(n)) 的，往左扫的次数和往右扫一样，也是 (mathcal{O}(n)) 的，其余部分也都是线性的。
这样最终的复杂度就是 (mathcal{O}(n)) 了。
于是我们成功的在 (mathcal{O}(n)) 的时间内解决了最长回文子串问题。