Case 1. 定义
韦达定理即：
在方程：
[ax^2 + bx + c = 0 (a,b,c in R , a
ot = 0)
]
中，两根 (x_1 , x_2) 存在关系：
[x_1 + x_2 = - frac{b}{a} , x_1 imes x_2 = frac{c}{a}
]
Case 2. 求根公式的证明
首先我们要求出 (x_1) 和 (x_2). 这也是 求根公式 的证明过程。
[ax^2 + bx + c = 0
]
[4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0
]
[(2ax + b)^2 - b^2 = -4ac
]
[(2ax+b)^2 = b^2-4ac
]
[2ax+b = pm sqrt{b^2-4ac}
]
[x = frac{-b pm sqrt{b^2-4ac}}{2a}
]
[x_1 = frac{-b + sqrt{b^2-4ac}}{2a} , x_2 = frac{-b - sqrt{b^2-4ac}}{2a}
]
至此， 求根公式 得证。
Case 3 韦达定理的证明
我们将 (x_1 + x_2 = - frac{b}{a}) 作为 韦达定理 (1)，(x_1 imes x_2 = frac{c}{a}) 作为 韦达定理 (2)，分别证明。
Case 3.1 韦达定理 (1) 的证明
[x_1 + x_2 = - frac{b}{a}
]
证：
[frac{-b + sqrt{b^2-4ac}}{2a} + frac{-b - sqrt{b^2-4ac}}{2a}
]
[= frac{-2b}{2a}
]
[= - frac{b}{a}
]
得证。
Case 3.2 韦达定理 (2) 的证明
[x_1 imes x_2 = frac{c}{a}
]
证：
[frac{-b + sqrt{b^2-4ac}}{2a} imes frac{-b - sqrt{b^2-4ac}}{2a}
]
[= frac{(-b + sqrt{b^2-4ac} imes (-b - sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}
]
[= frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2}
]
[= frac{4ac}{4a^2}
]
[= frac{c}{a}
]
得证。
Case 4. 韦达定理的应用
其逆定理为：
若 (alpha + β = - frac{b}{a} , alpha imes β = frac{c}{a})，则它们都是
[a^2 + bx + c = 0 (a,b,c in R , a
ot = 0)
]
的解。
由此可以 构造一元二次方程，有较大应用。尤其在 平面几何，解析几何，方程论 中更具应用。
Case 5. 推广韦达定理
即若有一元 (n) 次方程组：
[sum_{i=0}^n a_i x^i = 0 (n geq 2 , a_i in R , a_n
ot = 0)
]
则其解 (x_0 , x_1 cdots x_n) 满足：
[sum_{i=0}^n x_i = - frac{a_{n-1}}{a_n}
]
[prod_{i=0}^n x_i = (-1)^n frac{a_0}{a_n}
]
有类似证明，读者可自证。