P4619 [SDOI2018]旧试题 题解

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简要题意：

求

[sum_{i=1}^A sum_{j=1}^B sum_{k=1}^C d(ijk) ]

其中 (d(x)) 表示 (x) 的因数个数。

一言不合就推式子！

[sum_{i=1}^A sum_{j=1}^B sum_{k=1}^C d(ijk) ]

[= sum_{i=1}^A sum_{j=1}^B sum_{k=1}^C sum_{x=1}^i sum_{y=1}^j sum_{z=1}^k [gcd(i,j)==1] [gcd(i,k)==1] [gcd(j,k)==1] ]

[= sum_{x=1}^A sum_{y=1}^B sum_{z=1}^C [gcd(x,y)==1] [gcd(x,z)==1] [gcd(y,z)==1] lfloor frac{A}{x} floor lfloor frac{B}{y} floor lfloor frac{C}{z} floor ]

[= sum_{i=1}^A sum_{j=1}^B sum_{k=1}^C [gcd(i,j)==1] [gcd(i,k)==1] [gcd(j,k)==1] lfloor frac{A}{i} floor lfloor frac{B}{j} floor lfloor frac{C}{k} floor ]

[= sum_{i=1}^A sum_{j=1}^B sum_{k=1}^C lfloor frac{A}{i} floor lfloor frac{B}{j} floor lfloor frac{C}{k} floor sum_{u| gcd(i,j)} mu_u sum_{v| gcd(i,k)} mu_v sum_{w|gcd(j,k)} mu_k ]

[= sum_{u=1}^{min(A,B)} mu_u sum_{v=1}^{min(A,C)} mu_v sum_{w=1}^{min(B,C)} mu_w sum_{gcd(u,v)|i}^A lfloor frac{A}{i} floor sum_{gcd(u,w)|j}^B lfloor frac{B}{j} floor sum_{gcd(v,w)|k}^C lfloor frac{C}{k} floor ]

算法一

我会暴力！

时间复杂度：(O(n^3)). 实际得分：(0pt).

恭喜你，一长串式子白推了

算法二

推式子基本结束了，你会发现，式子长得可怕，这并不是我们 (A) 题的前兆！比方说 二元弱化版 本人也写了 题解，可是弱化版推的最后式子很简单啊！

所以首先我们分析，如果就这个式子枚举，(O(n^3)) 是跑不掉的。因为我们没有消掉一个 (sum)，反而按照 所谓的莫比乌斯反演套路 增加了 (sum).

令

[f_{y,x} = sum_{x|i}^y lfloor frac{y}{i} floor ]

将原式后面的一长串简化：

[sum_{u=1}^{min(A,B)} mu_u sum_{v=1}^{min(A,C)} mu_v sum_{w=1}^{min(B,C)} mu_w sum_{gcd(u,v)|i}^A lfloor frac{A}{i} floor sum_{gcd(u,w)|j}^B lfloor frac{B}{j} floor sum_{gcd(v,w)|k}^C lfloor frac{C}{k} floor ]

[= sum_{u=1}^{min(A,B)} mu_u sum_{v=1}^{min(A,C)} mu_v sum_{w=1}^{min(B,C)} mu_w f_A(gcd(u,v)) f_B(gcd(u,w)) f_C(gcd(v,w)) ]

这只是看起来简单了，实质上，(O(n log n)) 预处理 (f) 可以办到，但是就当前式子，大力枚举还是 (O(n^3))，没有一点部分分可拿。这是令人痛苦的地方。

时间复杂度：(O(n^3)). 实际得分：(0pt).

算法三

越接近答案的推导，就显得越困难。现在我们到了黎明前那个最黑暗的时刻。

我们考虑，什么时候 (u,v,w) 对答案没有贡献。

显然，(mu_u = 0) 或 (mu_v=0) 或 (mu_w=0) 都会没有贡献。

而 (f_y(x) = 0)，就需要 (gcd(u,v)>A) 或 (gcd(u,w)>B) 或 (gcd(v,w)>C).

似乎情况还蛮多的？

所以我们考虑感性一点，枚举 (gcd=g)，然后 (u=ig , v=jg) 合法 当且仅当 (gcd(i,j)=1 , mu_u imes mu_v ot = 0 , operatorname{lcm}{u,v}=ijg leq max(a,b,c)).

对于合法的 (u,v) 连边，我们就得到了一张图。

那么合法的情况是怎样的？即 (u ightarrow v , u ightarrow w , v ightarrow w) 在原图中同时存在。

即需要求出原图的 三元环个数，可以参考 不常用的黑科技——「三元环」，在 (O(n log n)) 的时间求解。

那么，(n = ?)，也就是这个图的边数会不会很大呢？

一位叫做 ( ext{shadowice1984}) 的人告诉我们边数最多只有 (760741) 条，所以就放心吧！

对于后面的一堆东西用 整除分块 可以实现。

对于 (n=7.5 imes 10^5)，用 (n sqrt{n}) 整除分块 需要格外小心，常数很危险，需要反复卡常才能过 (cdots cdots)

本人在卡常 (15) 次后 ( ext{AC}) 了本题。。 把几乎同样的代码不断提交

时间复杂度：(O(n sqrt {n} imes T)).

其中 (n leq 7.5 imes 10^5).

期望得分：(100pts). 实际得分：(70) ~ (100pts).（取决于常数）

如果你交我代码发现A不了，只能说你人品差了

// i=-~i 是 i++ 的优化
// 所有 min , max , gcd 手写卡常
// register 寄存器用来优化
// 一段 GCC 优化模板
#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize(5000)
#pragma GCC optimize(100000000)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("inline")
#pragma GCC optimize("-fgcse")
#pragma GCC optimize("-fgcse-lm")
#pragma GCC optimize("-fipa-sra")
#pragma GCC optimize("-ftree-pre")
#pragma GCC optimize("-ftree-vrp")
#pragma GCC optimize("-fpeephole2")
#pragma GCC optimize("-ffast-math")
#pragma GCC optimize("-fsched-spec")
#pragma GCC optimize("unroll-loops")
#pragma GCC optimize("-falign-jumps")
#pragma GCC optimize("-falign-loops")
#pragma GCC optimize("-falign-labels")
#pragma GCC optimize("-fdevirtualize")
#pragma GCC optimize("-fcaller-saves")
#pragma GCC optimize("-fcrossjumping")
#pragma GCC optimize("-fthread-jumps")
#pragma GCC optimize("-funroll-loops")
#pragma GCC optimize("-fwhole-program")
#pragma GCC optimize("-freorder-blocks")
#pragma GCC optimize("-fschedule-insns")
#pragma GCC optimize("inline-functions")
#pragma GCC optimize("-ftree-tail-merge")
#pragma GCC optimize("-fschedule-insns2")
#pragma GCC optimize("-fstrict-aliasing")
#pragma GCC optimize("-fstrict-overflow")
#pragma GCC optimize("-falign-functions")
#pragma GCC optimize("-fcse-skip-blocks")
#pragma GCC optimize("-fcse-follow-jumps")
#pragma GCC optimize("-fsched-interblock")
#pragma GCC optimize("-fpartial-inlining")
#pragma GCC optimize("no-stack-protector")
#pragma GCC optimize("-freorder-functions")
#pragma GCC optimize("-findirect-inlining")
#pragma GCC optimize("-fhoist-adjacent-loads")
#pragma GCC optimize("-frerun-cse-after-loop")
#pragma GCC optimize("inline-small-functions")
#pragma GCC optimize("-finline-small-functions")
#pragma GCC optimize("-ftree-switch-conversion")
#pragma GCC optimize("-foptimize-sibling-calls")
#pragma GCC optimize("-fexpensive-optimizations")
#pragma GCC optimize("-funsafe-loop-optimizations")
#pragma GCC optimize("inline-functions-called-once")
#pragma GCC optimize("-fdelete-null-pointer-checks")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll N=8e5+5,MOD=1e9+7;

inline ll read(){char ch=getchar(); ll f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

ll a,b,c,T,cnt,tot,ans;
ll lst[N],d[N],p[N],mu[N],ok[N],ord[N],deg[N],f[N],from[N],to[N],lcm[N],mrk[N];
vector<ll>v[N],w[N];
inline ll min(ll a,ll b){return a<b?a:b;}
inline ll max(ll a,ll b){return a>b?a:b;}
inline ll gcd(ll a,ll b){return (!b)?a:gcd(b,a%b);}

int main() {
    p[1]=mu[1]=1;
	for(register int i=2;i<N;i=-~i) {
        if(!p[i]) lst[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(register int j=1;j<=cnt;j=-~j){
            if(i*lst[j]>=N) break;
            p[i*lst[j]]=1;
            if(i%lst[j]==0) {mu[i*lst[j]]=0;break;}
            mu[i*lst[j]]=-mu[i];
        }
    } for(register int i=1;i<N;i=-~i)
        if(mu[i]) ok[++tot]=i,ord[i]=tot;
    for(register int i=1;i<N;i=-~i) {
        for(register int j=1;i*j<N;j=-~j) d[i*j]++;
        f[i]=(f[i-1]+d[i])%MOD;
    } T=read();
    while(T--) {
        memset(deg,0,sizeof(deg));
        memset(v,0,sizeof(v));
        memset(w,0,sizeof(w));
        a=read(),b=read(),c=read();
        ll mn=min(min(a,b),c),mx=max(max(a,b),c);
        ll e=ans=0;
        for(register int i=1;i<=tot;i=-~i){
            if(ok[i]>mx) break;
            for(register int j=1;j<=tot;j=-~j){
                if(ok[i]*ok[j]>mx) break;
                if(!mu[ok[i]*ok[j]]) continue;
                for(register int k=j+1;k<=tot;k=-~k){
                    if(ok[i]*ok[j]*ok[k]>mx) break;
                    if(mu[ok[i]*ok[k]]==0||gcd(ok[j],ok[k])>1) continue;
                    from[++e]=ord[ok[i]*ok[j]],to[e]=ord[ok[i]*ok[k]],lcm[e]=ok[i]*ok[j]*ok[k];
                    deg[from[e]]++,deg[to[e]]++;
                } 
            }
        }
        for(register int i=1;i<=tot;i=-~i) {
            if(ok[i]>mn) break;
            ans+=mu[ok[i]]*mu[ok[i]]*mu[ok[i]]*f[a/ok[i]]*f[b/ok[i]]*f[c/ok[i]];
        }
        for(register int i=1;i<=e;i=-~i) {
            v[from[i]].push_back(to[i]),w[from[i]].push_back(lcm[i]);
            v[to[i]].push_back(from[i]),w[to[i]].push_back(lcm[i]);
        }
        for(register int i=1;i<=tot;i=-~i) {
            if(ok[i]>min(a,b)) break;
            for(register int j=0;j<v[i].size();j=-~j) {
                ll x=ok[i],y=ok[v[i][j]],z=w[i][j];
                ans=(ans+mu[x]*mu[y]*mu[y]*f[a/z]*f[b/z]*f[c/y]);
                ans=(ans+mu[x]*mu[x]*mu[y]*f[a/x]*f[b/z]*f[c/z]);
                ans=(ans+mu[x]*mu[x]*mu[y]*f[a/z]*f[b/x]*f[c/z]);
            }
        } ans=(ans+MOD)%MOD;
        memset(v,0,sizeof(v));
        memset(w,0,sizeof(w));
        for(register int i=1;i<=e;i=-~i) {
            if(deg[from[i]]>=deg[to[i]]) v[from[i]].push_back(to[i]),w[from[i]].push_back(lcm[i]);
            else v[to[i]].push_back(from[i]),w[to[i]].push_back(lcm[i]);
        }
        for(register int i=1;i<=tot;i=-~i) {
            if(ok[i]>mx) break;
            for(register int j=0;j<v[i].size();j=-~j) mrk[v[i][j]]=w[i][j];
            for(register int j=0;j<v[i].size();j=-~j){
                ll x=v[i][j];
                for(register int k=0;k<v[x].size();k=-~k){
                    ll y=v[x][k],p=mrk[y],q=w[i][j],r=w[x][k];
                    if(!mrk[y]) continue;
                    ll st1,st2,st3,st4,st5,st6;
                    st1=f[a/p]*f[b/q]*f[c/r];
                    st2=f[a/p]*f[b/r]*f[c/q];
                    st3=f[a/q]*f[b/p]*f[c/r];
                    st4=f[a/q]*f[b/r]*f[c/p];
                    st5=f[a/r]*f[b/p]*f[c/q];
                    st6=f[a/r]*f[b/q]*f[c/p];
                    ans=(ans+mu[ok[i]]*mu[ok[x]]*mu[ok[y]]*(st1+st2+st3+st4+st5+st6)+MOD)%MOD;
                }
            } for(register int j=0;j<v[i].size();j=-~j) mrk[v[i][j]]=0;
        }
        printf("%lld
",(ans+MOD)%MOD);
    }
    return 0;
}