P6298 齿轮 题解

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简要题意：

求在 (n) 个数中选 (k) 个数使其 (gcd) 分别为 (1) ~ (m) 的个数。(m = max_{i=1}^n a_i).

这是某洛谷月赛的 ( ext{T2})，有一定思维难度。

子任务 (1)

子任务 (1) ：(n leq 10)，(m leq 10^6)，(k leq 10)

暴力枚举 (k) 个数记录 ( ext{gcd}) 即可。

时间复杂度：(O(C_n^k log C_n^k)).

实际得分：(10pts).

子任务 (2)

子任务 (2)：(n,m,k leq 10^3).

给一些简单 ( ext{dp}) 乱搞的部分分。

子任务 (3)

子任务 (3)：(n leq 10^6)，(m leq 10^3)，(k leq 2).

预处理两两 (gcd). 但不是 (O(n^2 log m)) 的那种，而是预处理所有 (leq 10^3) 的数的个数记为 (f)，在 (f) 上两两匹配 (gcd) 记录个数即可。

时间复杂度：(O(m^2 log m)).

实际得分：(5pts).

子任务 (4)

子任务 (4)：(n,m leq 10^6)，(k leq 1)

这是个送分的子任务，统计每个数出现的次数即可。

时间复杂度：(O(n)).

实际得分：(5pts).

子任务 (5)

子任务 (5)：(n,m leq 10^6)，(k leq 2).

似乎不能暴力统计两两 (gcd) 了。所以这个子任务想要解决必须写正解，如果你会乱搞可以试一试。

子任务 (1) ~ (6)

对于 (100 \%) 的数据，(n,m leq 10^6),(1 leq k leq n).

我们需要考虑高级的 ( ext{dp}) 方式。

用 (g_i) 表示选出 (k) 个数，其 ( ext{gcd}) 为 (i) 的倍数 的个数。这里我们要考虑容斥，不是很简单的样子。

[g_i = C_{sum_{j=1}^n [i | a_j]}^k ]

因为在所有是 (i) 的倍数中选 (k) 个用组合，但是不完全正确，因为 (g_i) 很有能计算重复，所以我们用 容斥 计算，把所有的 (g_j (i | j space space ext{and} space space i ot = j)) 全部减掉，然后对它们的和进行组合。

如何计算组合呢？我们可以预处理 阶乘逆元 然后 (O(1)) 回答。

时间复杂度：(O(n + m) + sum_{i=1}^m O ig(lfloor frac{m}{i} floor ig) = O(n + m log m)).

实际得分：(100pts).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MOD=1e9+7;
const int N=1e6+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

ll f[N],inv[N],invf[N];
ll g[N]; int t[N],n,m,k;

inline ll calc(int x,int y) {
	return x<y?0:(f[x]*invf[y]%MOD*invf[x-y]%MOD);
}  //组合

int main(){
	n=read(),m=read(),k=read();
	f[0]=invf[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		inv[i]=(i==1)?1:(inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD);
		f[i]=f[i-1]*i%MOD; invf[i]=invf[i-1]*inv[i]%MOD; //处理逆元，阶乘逆元
		t[read()]++; //记录桶
	} for(int i=m;i;i--) {
		int cnt=0; //记录和
		for(int j=1;i*j<=m;j++) cnt+=t[i*j],g[i]=(g[i]-g[i*j]+MOD)%MOD; //容斥减掉 , 统计和
		g[i]=((g[i]+calc(cnt,k))%MOD+MOD)%MOD; //和的组合
	} for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld ",g[i]);
	return 0;
}