字符串笔记

前置知识：

(KMP)，字典树。

注：本笔记不含任何 (AC) 自动机内容。能用其实现的，我们也用 (KMP) 先做。

例1.

算法一

暴力枚举一个串的所有子串，然后暴力验证。

一个串的子串个数：

[sum_{i=1}^{1000} = 500500 ]

暴力验证： (O(100 imes 1000 imes len))

（其中 (len) 为当前验证子串的长度

你会发现，这个算法显然不是很理想。我们考虑基于字符串匹配的某些算法进行优化。

算法二

仍然是枚举一个串的所有约 (5 imes 10^5) 个子串，但是暴力验证需要优化。

我们用 (KMP) 算法， 那么每次验证的时间复杂度就是：

[O(100 imes (1000 + 1000 + len)) ]

（其中 (len) 为当前验证子串的长度

一个 (1000) 是建立 ( exttt{next}) 数组的时间，另一个 (1000) 是 (KMP) 的时间。

但是，稍作分析你就会发现，总时间复杂度约为：

(O(5 imes 10^5 imes 100 imes (2000 + len) = 5 imes 10^7 imes (2000 + len)))

显然还是不很理想。

算法三

同样是 (KMP) 算法，但是我们仍然有发现：

算法二中，( exttt{next}) 数组不必计算多次，实则可以初始化一次，后面可以一直用。

那么时间复杂度就是：

[O(5 imes 10^5 imes 100 imes len) ]

其中 (len) 为所有子串长度的总和。

但是，你会发现，这个算法仍然不是很理想的样子，还是会 (TLE) 啊！

分析

首先，我们 (len) 从大到小枚举，枚举到一个正确的答案就可以停止，那么很显然不会再枚举下面的答案。

由于串的个数很多，所以 (len) 不会很大，保守的估计在 (100) 左右。

那么，显然不可能每一个 (KMP) 都跑满了，尤其是那些验证子串很大的， 几乎是线性。

通过实践表明，可以跑过。

例2.

   有很多单词，只由小写字母组成，不会有重复的单词出现。统计出以某个字符串为前缀的单词数量。(以一个空行隔开单词和前缀字符串)

显然呢，是个字典树模板，不用多说了吧。

例3.

首先呢，你可能想到的是：

(KMP) 暴力匹配，初始化 ( exttt{next}) 数组，瞬间解决！

虽然确实如此 但是我还要弱弱的提醒一下：

[100 imes 1350000 > 10^8 ]

也就是说 (KMP) 如果跑满时间复杂度就 (T) 掉了。

但是呢？

你会发现多次 (KMP) 根本就跑不满这个时间复杂度（像上面的那道），因为如果是随机数据，然后你从最长的串开始验证，直接把它 ( exttt{PASS}) 掉就完了，后面的不用再看。

可是无法避免人造数据啊。

比方说， (n=100)，然后 (100) 个串都是 (100) 个 ( exttt{a})，每次询问一个长 (1.35 imes 10^6) 的串，它前 (1.35 imes 10^6 - 100) 个都是 ( exttt{b})，后面 (100) 个都是 ( exttt{a}).

这种情况下，虽然每次都是 ( exttt{Yes})，但是你的 (KMP) 成功地跑满了时间复杂度然后就 (T) 掉了。

可是多次思考后我们发现，似乎没有比这更优的算法？（有当我没说）

所以就不管它，直接硬跑就完事了。（(T) 了不管我事）