同余定理及其应用

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    同余定理：两个整数同时除以一个整数得到的余数相同，则二整数同余。记作a ≡ b(mod m)。

1. 同余定理的加法乘法应用

• (a + b) % m = (a % m + b % m) % m

设 a = k1 * m + r1，b = k2 * m + r2
则 (a + b) % m = ((k1 * m + r1) + (k2 * m + r2)) % m
               = ((k1 + k2) * m + (r1 + r2)) % m
               = (r1 + r2) % m
               = (a % m + b % m) % m
所以 (a + b) % m = (a % m + b % m) % m

• (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m

设 a = k1 * m + r1，b = k2 * m + r2
则 (a * b) % m = ((k1 * m + r1) * (k2 * m + r2)) % m
               = (k1 * k2 * m^2 + (k1 * r2 + k2 * r1) * m + r1 * r2) % m
               = (r1 * r2) % m
               = ((a % m) * (b % m)) % m
所以 (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m

2. 高精度取模

• 高精度对单精度取模

    一个高精度数对一个数取余，可以把高精度数看成各位数的权值与个位数乘积的和。

    比如1234 = ((1 * 10 + 2) * 10 + 3) * 10 + 4，对这个数进行取余运算就是上面基本加和乘的应用。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
 
int main(){
    string a;
    int b;
    cin >> a >> b;
    int len = a.length();
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i < len; i++){
        ans = (ans * 10 + a[i] - ‘0’) % b;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

• 快速幂取模

    将幂拆解为多个底数的平方次的积，如果指数为偶数，把指数除以2，并让底数的平方次取余，如果指数为奇数，就把多出来的底数记录下来，再执行偶数次的操作。

#include<iostream>
using namespace std;
 
int PowerMod(int a, int b, int c){
    int ans = 1;
    a = a % c;
    while(b > 0){
        if(b&1){
            ans *= (a % c);
        }
        b >>= 1;
        a = (a * a) % c;
    }
    ans %= c;
    return ans;
}
 
int main(){
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << PowerMod(a, b, c) << endl;
    return 0;
}

            </div>