hdu-2819.swap(二分匹配 + 矩阵的秩基本定理)

Swap

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Special Judge

Problem Description

Given an N*N matrix with each entry equal to 0 or 1. You can swap any two rows or any two columns. Can you find a way to make all the diagonal entries equal to 1?

 

Input

There are several test cases in the input. The first line of each test case is an integer N (1 <= N <= 100). Then N lines follow, each contains N numbers (0 or 1), separating by space, indicating the N*N matrix.

 

Output

For each test case, the first line contain the number of swaps M. Then M lines follow, whose format is “R a b” or “C a b”, indicating swapping the row a and row b, or swapping the column a and column b. (1 <= a, b <= N). Any correct answer will be accepted, but M should be more than 1000.

If it is impossible to make all the diagonal entries equal to 1, output only one one containing “-1”. 

 

Sample Input

2 0 1 1 0 2 1 0 1 0

 

Sample Output

1 R 1 2 -1

 

Source

2009 Multi-University Training Contest 1 - Host by TJU

 

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gaojie

这个题一开始没有想到是二分匹配,主要是不知道这个定理.

矩阵的秩:

　　一般矩阵经过初等变换之后得到的阶梯矩阵中,不全为0的行数为行秩,不全为0的列的个数为列秩,一个矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩.

矩阵的秩的一般定理:

　　初等变换不能改变矩阵的秩.

/*************************************************************************
    > File Name: hdu-2819.swap.cpp
    > Author: CruelKing
    > Mail: 2016586625@qq.com 
    > Created Time: 2019年09月02日 星期一 17时56分18秒
    本题大意：给定一个n × n 的0 or 1矩阵，问你若只交换某些行和列(行之间进行交换，列之间进行交换)能否使得最后的矩阵在从左上角到右下角的对角线上元素都为1.
    本题思路：线性代数里我们学过初等变换不会改变矩阵的秩，因此如果一个矩阵满秩，那么必定有解，如何判断矩阵是否满秩呢？因为是0 or 1矩阵，因此，原矩阵经过变换后得到的阶梯矩阵也都只有0 or 1，如果其中某两列的元素完全相等，或者某一列中本来就不存在1那么转换之后的阶梯矩阵自然也就不会满秩。所以我们可以对行和列缩点，判断是否每一列都有独特的一行与之对应，如果说有两列的1都存在与同一行，那么必定无法匹配，所以我们就想到了二分匹配，让行缩点为x，列缩点为y，匹配之后，如果最大匹配为n那么匹配成功，否则说明矩阵非满秩，如何输出解呢？我们遍历所有列,如果发现有一列与他匹配的行不与他的标号相等,则说明这个(i, j)位于第i行第j列,那么我们把第j列换到第i列即可.也就是交换j与linker[j],交换了之后肯定要改变其匹配状态,也就是让匹配i的行和匹配j的行再互换。
 ************************************************************************/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 100 + 5, maxm = 1000 + 5, inf = 0x3f3f3f3f;

typedef pair<int, int> pii;
int n, linker[maxn], g[maxn][maxn];
bool used[maxn];
pii path[maxm];
int tot;

bool dfs(int u) {
    for(int v = 1; v <= n; v ++) {
        if(!used[v] && g[u][v]) {
            used[v] = true;
            if(linker[v] == -1 || dfs(linker[v])) {
                linker[v] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    while(~scanf("%d", &n)) {
        tot = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i ++) {
            for(int j = 1; j <= n; j ++) {
                scanf("%d", &g[i][j]);
            }
        }
        memset(linker, -1, sizeof linker);
        int res = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i ++) {
            memset(used, false, sizeof used);
            if(dfs(i)) res ++;
        }
        if(res != n) printf("%d
", -1);
        else {
            for(int i = 1; i <= n; i ++) {
                while(i != linker[i]) {
                    path[tot ++] = make_pair(i, linker[i]);
                    swap(linker[i], linker[linker[i]]);
                }
            }
            printf("%d
", tot);
            for(int i = 0; i < tot; i ++) {
                printf("C %d %d
", path[i].first, path[i].second);
            }
        }
    }
    return 0;
}