最大子数列问题

问题描述：在一个数列中找到一个连续的子数列，使得该子数列的和最大。

Kadane算法

扫描一次整个数列的所有值，在每个点计算以该点为结束点的子数列的最大和。该子数列由两部分组成：以前一个位置为结束点的最大子数列、该点的数值。（最优子结构，因此是动态规划问题）

这个问题很早就被Jon Bentley讨论过（Sep. 1984 Vol. 27 No. 9 Communications of the ACM P885)

下面这段是论文中算法描述：

algorithm that operates on arrays: it starts at the left end (element A[1]) and scans through to the right end (element A[n]), keeping track of the maximum sum subvector seen so far.

The maximum is initially A[0]. Suppose we've solved the problem for A[1 .. i - 1]; how can we extend that to A[1 .. i]? The maximum sum in the first I elements is either the maximum sum

in the first i - 1 elements (which we'll call MaxSoFar), or it is that of a subvector that ends in position i (which we'll call MaxEndingHere).

C++实现：

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int maxSoFar = nums[0];
        int maxEndingHere = nums[0];
        for(int i = 1; i < nums.size(); ++i){
            maxEndingHere = max(nums[i], maxEndingHere + nums[i]);
            maxSoFar = max(maxSoFar, maxEndingHere);
        }
        return maxSoFar;
    }

该问题的一个变种是：如果数列中含有负数元素，允许返回长度为零的子数列，将以上代码稍作修改即可：

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int maxSoFar = 0;
        int maxEndingHere = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); ++i){
            maxEndingHere = max(0, maxEndingHere + nums[i]);
            maxSoFar = max(maxSoFar, maxEndingHere);
        }
        return maxSoFar;
    }

LeetCode121. Best Time to Buy and Sell Stock

一个数组代表一支股票每天的价格，买入卖出算一次交易，最多交易一次，求最大收益。

分析：这道题可以转化为求最大子数列问题

例如[1, 7, 4, 11], 可以转换为[0, 6, -3, 7]，然后计算该数组的最大子数列和即可（注意如果最大子数列和为负数，要返回0，即上面的变体）

int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int maxCur = 0, maxSoFar = 0;
        for(int i = 1; i < prices.size(); ++i){
            maxCur = max(0, maxCur + prices[i] - prices[i - 1]);
            maxSoFar = max(maxSoFar, maxCur);
        }
        return maxSoFar;
    }