博主联赛打铁了，就回来更博了（哭）。
今年的联赛按照大众评价似乎是 2016 之后最简单的一次，事实也确实如此吧。二试的几何题和代数题都是初中范围内的基础知识点，而数论题如果能想到在 (mod m) 跟 (mod m^2) 下搞就能很容易搞出来，组合压轴还是很困难的。
我一试爆炸了导致总分过低，二试写出了 A 和 B，而且我省改分过于严格，估计很难拿全分。分数线大家纷纷认为 120 ~ 130，所以我几乎就是打铁了。
这里先放二试题面。
Solutions
一、
一个比较基础的初中几何，首先连上 (BD), (CE)，欲证 (BC=2BP)，即证 (BP=CM)。
观察到 ( riangle BPD cong riangle CME)，下证之；
由圆周角相等以及角分线，(angle BDP=angle CEP)；
由已知 (DP=ME)；
对 ( riangle BPM) 和 ( riangle CME) 正弦定理易证 (BD=CE)。
二、
首先待求式是容易按照套路化简的，(2f) 显然可以化作平方和的形式。
记 (a_{-1}=a_{0}=0)，则 (2f=sum_{i=1}^{2018} (a_i-a_{i-2})^2 + (a_{2017}-a_{2019})^2 + a_{2018}^2 + a_{2019}^2)。
易知对 (xin ext{N})，有 (x^2ge x)，仅当 (x=0) 或 (1) 时取等号。
故 (2fge a_{2017} + a_{2018} + (a_{2017}-a_{2019})^2 + a_{2018}^2 + a_{2019}^2)；
不妨设 (a_{2017}=t,a_{2018}ge t) 据此放缩一下即：
(2fge 2t + (t-99)^2 + t^2 + 99^2)。
这是一个二次函数，当 (t=49) 时其最小值为 (14800)，故 (fge 7400)。
计数一下方案，设差分数组 (b_n=a_n-a_{n-1})，则对于 (3le ile 2017)，(b_iin {0,1})，且对于相邻的两个 (b_i) 不全为 (1)。
插板，方案数是 (1968choose 48)。
三、
注意到当 (n>2)，(m mid a_n-a_{n-1})，那么有 (a_2equiv a_3equiv dots pmod m)。
而题目说存在 (a_r=a_s=a_1)，故也有 (a_2equiv a_1pmod m)，反之就不存在。
设 (a_1=k pmod m)；
在模 (m^2) 意义下：(0equiv a_r-a_sequiv sum_{i=s+1}^r a_i-a_{i-1}equiv msum_{i=s}^{r-1} a_iequiv m(r-s)k pmod {m^2})。
若 (gcd(k,m)=1) 则必有 (mmid r-s) 即得证。
这上面是整个的大致思路。
另外还要讨论当 (m<0) 或 (gcd(k,m)>1) 或 (a_1equiv 0 pmod m) 或 (a_2equiv 0 pmod m) 的情况，都比较容易，但实际考场上需要十分严密的书写证明，感觉不太容易满分。
四、
咕咕咕