数学笔记

三角函数

特殊函数值

(displaystyle sin15^circ=frac{sqrt6-sqrt2}{4})
(displaystyle sin75^circ=frac{sqrt6+sqrt2}{4})
(displaystyle sin18^circ=frac{sqrt5-1}{4})
(displaystyle sin54^circ=frac{sqrt5+1}{4})
余弦就拿诱导转正弦算吧。

诱导公式以及和差倍半

随便上网就能查到。

和差化积公式

必背四个公式。

[sin(x)+sin(y)=2sin(frac{x+y}{2})cos(frac{x-y}{2}) ]

[sin(x)-sin(y)=2cos(frac{x+y}{2})sin(frac{x-y}{2}) ]

[cos(x)+cos(y)=2cos(frac{x+y}{2})cos(frac{x-y}{2}) ]

[cos(x)-cos(y)=-2sin(frac{x+y}{2})sin(frac{x-y}{2}) ]

积化和差公式

往等式右边代即可，不需要背新的。

辅助角公式

[asinθ+bcosθ=sqrt{a^2+b^2}sin(θ+φ)，其中 an φ = frac{b}{a}。 ]

复数表示

欧拉公式

(e^{iθ}=cosθ+isinθ)（逆时针转角）

重要结论

通过向量容易直观地得到：

[cos(kfrac{2π}{n})=frac{ω^k+ω^{-k}}{2} ]

[sin(kfrac{2π}{n})=frac{ω^k-ω^{-k}}{2i} ]

其中(ω)是(n)次的单位根。
直接大力代入化简复数表达式可以直接破解大多求值性题目。

设三角

遇到半径为(r)的圆，以圆心建系，圆周上点的复数可写作(rcosθ+risinθ)。

三倍角

[sin3α=-4sin^3α+3sinα ]

[cos3α=4cos^3α-3cosα ]

当(α=10^circ或20^circ)等等，逆用公式可以得到特殊角。

三角形内定理

基础初中知识。

正弦定理

略。
Update on 2019.9.14 ： 联赛不会正弦定理，打铁滚粗

余弦定理

[cos(A)=frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} ]

三角形内的三角恒等式

(tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC)
(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1)
((cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1)
还有一些别的。

泰勒展开式

[sin x = sum_{k=1}^{infty} frac{(-1)^{k+1}*x^{2k-1}}{(2k-1)!}$$$$cos x = sum_{k=1}^{infty} frac{(-1)^{k}*x^{2k}}{(2k)!} ]

余弦函数换元求数列通项

待更

少量例题

1、A,B,C是三角形的内角,(A=3B=9C),求 (cos Acos B+cos Bcos C+cos Ccos A) 的值。（2019·江西）
解：设 (ω) 是 26 次单位根，则

[A=frac{ω^{18}+ω^{8}}{2} \ B=frac{ω^{6}+ω^{20}}{2} \ C=frac{ω^{2}+ω^{24}}{2} ]

代入化简得 (-1/4)。
2、若 x,y 是锐角且满足 (sin(x+y)=frac{sin(x)}{sin(y)}),求 ( an(x)) 的最大值。（2019·上海）
解：设 (z=x+y)

[sin(x)=sin(y)sin(z)=sin(z-x)sin(z)=sin^2(z)cos(x)-sin(z)cos(z)sin(x)$$同除 $cosx$ 得$$ an x=sin^2(z)-cos(z) an x Longrightarrow an x=frac{sin^2(z)}{1+cosz}=frac{1}{cot^2(z)+cot(z)+1} le frac{4}{3} ]

3、算角度 (4arctan frac{1}{5} - arctan frac{1}{239})。（2018·北大夏令营）
解：角度相加转换为复数乘法，原式 = (Arg((5+i)^4 imes (239-i)) = Arg(114244+114244i) = π/4)

数列

等差数列与等比数列

不考。

二阶常系数线性递推

常用特征根法来做。
先把递推式写成 (F_{i+2}+pF_{i+1}+qF_{i}=0) 的形式。
则其特征方程为 (x^2+px+q=0)。
特征方程的两根(x_1),(x_2)称作特征根。
若(x_1 eq x_2)，则通项为 (F(n)=Ax_1^n+Bx_2^n)；
若(x_1 = x_2)，则通项为 (F(n)=f(n)x_1^n)（f(n)是一次函数）。
利用已知部分待定系数即可。

非常规方法

待总结。

不等式

柯西不等式

(a,b,c,d) 是实数则有 ((a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2), 仅当 (frac{a}{c}=frac{b}{d})
给出证明如下：
((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2) 即得证。
若 (a,b,c,d) 是正数则可以直接 ((a+b)(c+d)≥(sqrt{ac}+sqrt{bd})^2) 取等条件 (ad=bc)。

微分和导数

把自变量 (x) 的增量 (Δx) 称为自变量的微分，记作 ( ext{d} x)，即 ( ext{d} x = Δx)。于是函数 (y = f(x)) 的微分又可记作 ( ext{d} y = f'(x) ext{d} x)。
那么复合函数的导数就可以轻松计算辣。
用求导的方法可以推出一种计算多项式 (exp) 的方法：$$B=e^A ightarrow B'=A'e^A=A'B ightarrow B=int A'B$$
反三角函数在不定积分中运用灵活，求导公式也必不可缺：$$d,arcsin(x)=dfrac{1}{sqrt{1-x^{2}},dx$$$$d,arccos(x)=-dfrac{1}{sqrt{1-x}2}},dx$$$$d,arctan(x)=-dfrac{1}{1+x^{2},dx$$$$d, ext{arcsinh}(x)=dfrac{1}{sqrt{1+x}2}},dx$$$$d, ext{arccosh}(x)=dfrac{1}{sqrt{x^{2-1}},dx$$$$d, ext{arctanh}(x)=-dfrac{1}{1-x}2},dx$$

圆锥曲线

椭圆

标准方程 (frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1)，当 (a>b) 时焦点在 (x) 轴，(a=b) 时是圆，(a<b) 时焦点在 (y) 轴。

接下来默认 (a>b) 进行讨论；

焦半径,焦点

(c=sqrt{a^2-b^2})，即焦点坐标为 (F_1(-c,0)) (F_2(c,0))，椭圆上任意一点 (P)，满足 (|PF_1|+|PF_2|=2a)。

准线与离心率

(l:x=pm frac{a^2}{c})，椭圆上动点到同侧焦点与准线的距离之比是一个定值 (e) （离心率），(e=frac{c}{a})。