470.Implement Rand10() Using Rand7()

Given a function rand7 which generates a uniform random integer in the range 1 to 7, write a function rand10 which generates a uniform random integer in the range 1 to 10.

Do NOT use system's Math.random().

Example 1:

Input: 1
Output: [7]

Example 2:

Input: 2
Output: [8,4]

Example 3:

Input: 3
Output: [8,1,10]

Note:

1. rand7 is predefined.
2. Each testcase has one argument: n, the number of times that rand10 is called.

Follow up:

1. What is the expected value for the number of calls to rand7() function?
2. Could you minimize the number of calls to rand7()?

# The rand7() API is already defined for you.
# def rand7():
# @return a random integer in the range 1 to 7

class Solution:
    def rand10(self):
        """
        :rtype: int
        """
        x = 0
        while True:
            x = (rand7()-1)*7+rand7()
            if x<=40:
                break
        return x%10 + 1

首先rand7()-1得到一个离散整数集合{0，1，2，3，4，5，6}，其中每个整数的出现概率都是1/7。那么(rand7()-1)7得到一个离散整数集合A={0，7，14，21，28，35，42}，其中每个整数的出现概率也都是1/7。而rand7()得到的集合B={1，2，3，4，5，6，7}中每个整数出现的概率也是1/7。显然集合A和B中任何两个元素组合可以与1-49之间的一个整数一一对应，也就是说1-49之间的任何一个数，可以唯一确定A和B中两个元素的一种组合方式，反过来也成立。由于A和B中元素可以看成是独立事件，根据独立事件的概率公式P(AB)=P(A)P(B)，得到每个组合的概率是1/71/7=1/49。因此(rand7()-1)*7+rand7()生成的整数均匀分布在1-49之间，每个数的概率都是1/49。
然后的思路基于拒绝采样，若x<=40，则直接采用其mod10+1的结果。若不再这个区间内，则重复采样，直到落在这个区间里。