定义
SBT也是一种自平衡二叉查找树,它的平衡原理是每棵树的大小不小于其兄弟树的子树的大小
即size(x->l)$ge$size(x->r->l),size(x->r->r),右边同理size(x->r)$ge$size(x->l->l),size(x->l->r)
具体操作
旋转
旋转几乎是所有平衡树所共有的操作，操作方法也基本相同
void rotate(SBT *&x,int d){//旋转操作，d=0表示左旋，d=1表示右旋 SBT *y=x->son[d^1];//y指向要旋转到父节点的子节点 x->son[d^1]=y->son[d],y->son[d]=x;//更新指向关系 y->size=x->size;//更新size值 x->size=size(x->son[0])+size(x->son[1])+x->num; x=y;//别忘了将进入子树的指针指到y上 }
平衡维护
SBT的平衡维护是SBT所特有的操作，具体有两种情况(左右对称算一种)
1.size(x->l)<size(x->r->r),即下图中的size(2)<size(7)
这时我们只需要把3旋转到根即可
这时size(7)>size(2),size(6),但size(6)不一定>size(4),size(5),所以要维护一下节点1，然后再维护一遍节点3
2.size(x->l)<size(x->r->l),即下图中的size(2)<size(6)
我们先把子树3右旋,6旋到3的位置
这时size(2)还不一定大于size(3),size(8)，于是我们把子树1左旋，将6变为根
这时size(1)>size(9),size(7)，但是子树1和3不一定平衡，所以平衡1，3，然后再平衡6
void maintain(SBT *&x,int d){//平衡操作,检查(x->son[d]的子树是否比x->son[d^1]大) if(x->son[d]==NULL)return; if(size(x->son[d^1])<size(x->son[d]->son[d^1]))rotate(x->son[d],d),rotate(x,d^1); else if(size(x->son[d^1])<size(x->son[d]->son[d]))rotate(x,d^1); else return; maintain(x->son[0],0),maintain(x->son[1],1),maintain(x,0),maintain(x,1);//平衡子树后再平衡一次x }
插入
和二叉查找树的插入差不多，只是在插入后要平衡一下
void insert(SBT *&x,int key){ if(!x){x=new SBT(key);return;} x->size++; if(x->key==key){x->num++;return;} int d=key>x->key; insert(x->son[d],key); maintain(x,d);//插入后平衡一遍 }
删除
如果要删除的节点有子节点为空，则用另一个子节点代替要删除的节点
否则，用后继代替当前节点，然后递归删除后继
void del(SBT *&x,int key){ if(x->key!=key){ del(x->son[key>x->key],key); x->size=size(x->son[0])+size(x->son[1])+x->num; return; } x->size--; if(x->num>1){x->num--;return;}//num SBT *p=x; if(x->son[0]==NULL)x=x->son[1],delete p; else if(x->son[1]==NULL)x=x->son[0],delete p; else{//用后继替换当前节点，删除后继 p=x->son[1]; while(p->son[0]){ p=p->son[0]; } x->num=p->num,x->key=p->key,p->num=1,del(x->son[1],p->key); } }
其他操作
int query_id(SBT *x,int key){//求数列中比key小的有几个 if(!x)return 0; if(x->key>key)return query_id(x->son[0],key); if(x->key==key)return size(x->son[0]); return query_id(x->son[1],key)+size(x->son[0])+x->num; } int query_k(SBT *x,int k){//求排第k的数 if(!x)return 0; if(size(x->son[0])>=k)return query_k(x->son[0],k); if(size(x->son[0])+x->num>=k)return x->key; return query_k(x->son[1],k-size(x->son[0])-x->num); } int ans; void pre(SBT *x,int num){//求num的前驱(即小于num的最大的数)，并存在ans里 if(!x)return; if(x->key<num)ans=x->key,pre(x->son[1],num); else pre(x->son[0],num); } void suc(SBT *x,int num){//求后继 if(!x)return; if(x->key>num)ans=x->key,suc(x->son[0],num); else suc(x->son[1],num); } void mid_traversal(SBT *x){//中序遍历 if(x->son[0])mid_traversal(x->son[0]); printf("%d ",x->key); if(x->son[1])mid_traversal(x->son[1]); }
模板
#include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define size(x) (x?x->size:0) struct SBT{ int key,size,num; SBT *son[2]; SBT(){ memset(this,0,sizeof(SBT)); } SBT(int x){ num=size=1,key=x,son[0]=son[1]=0; } }*root; void rotate(SBT *&x,int d){//旋转操作，d=0表示左旋，d=1表示右旋 SBT *y=x->son[d^1];//y指向要旋转到父节点的子节点 x->son[d^1]=y->son[d],y->son[d]=x;//更新指向关系 y->size=x->size;//更新size值 x->size=size(x->son[0])+size(x->son[1])+x->num; x=y;//别忘了将进入子树的指针指到y上 } void maintain(SBT *&x,int d){//平衡操作,检查(x->son[d]的子树是否比x->son[d^1]大) if(x->son[d]==NULL)return; if(size(x->son[d^1])<size(x->son[d]->son[d^1]))rotate(x->son[d],d),rotate(x,d^1); else if(size(x->son[d^1])<size(x->son[d]->son[d]))rotate(x,d^1); else return; maintain(x->son[0],0),maintain(x->son[1],1),maintain(x,0),maintain(x,1);//平衡子树后再平衡一次x } void insert(SBT *&x,int key){ if(!x){x=new SBT(key);return;} x->size++; if(x->key==key){x->num++;return;} int d=key>x->key; insert(x->son[d],key); maintain(x,d);//插入后平衡一遍 } void del(SBT *&x,int key){ if(x->key!=key){ del(x->son[key>x->key],key); x->size=size(x->son[0])+size(x->son[1])+x->num; return; } x->size--; if(x->num>1){x->num--;return;}//num>1直接num-1即可 SBT *p=x; if(x->son[0]==NULL)x=x->son[1],delete p; else if(x->son[1]==NULL)x=x->son[0],delete p; else{//用后继替换当前节点，删除后继 p=x->son[1]; while(p->son[0]){ p=p->son[0]; } x->num=p->num,x->key=p->key,p->num=1,del(x->son[1],p->key); } } int query_id(SBT *x,int key){//求数列中比key小的有几个 if(!x)return 0; if(x->key>key)return query_id(x->son[0],key); if(x->key==key)return size(x->son[0]); return query_id(x->son[1],key)+size(x->son[0])+x->num; } int query_k(SBT *x,int k){//求排第k的数 if(!x)return 0; if(size(x->son[0])>=k)return query_k(x->son[0],k); if(size(x->son[0])+x->num>=k)return x->key; return query_k(x->son[1],k-size(x->son[0])-x->num); } int ans; void pre(SBT *x,int num){//求num的前驱(即小于num的最大的数)，并存在ans里 if(!x)return; if(x->key<num)ans=x->key,pre(x->son[1],num); else pre(x->son[0],num); } void suc(SBT *x,int num){//求后继 if(!x)return; if(x->key>num)ans=x->key,suc(x->son[0],num); else suc(x->son[1],num); } void mid_traversal(SBT *x){//中序遍历 if(x->son[0])mid_traversal(x->son[0]); printf("%d ",x->key); if(x->son[1])mid_traversal(x->son[1]); } bool f=0; void check(SBT *x){ if(!x)return; check(x->son[0]); check(x->son[1]); if(x->size!=size(x->son[0])+size(x->son[1])+1)printf("woring"); } int main(){ return 0; }
例题P3369 【模板】普通平衡树（Treap/SBT）
#include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define size(x) (x?x->size:0) struct SBT{ int key,size,num; SBT *son[2]; SBT(){ memset(this,0,sizeof(SBT)); } SBT(int x){ num=size=1,key=x,son[0]=son[1]=0; } }*root; void rotate(SBT *&x,int d){//旋转操作，d=0表示左旋，d=1表示右旋 SBT *y=x->son[d^1];//y指向要旋转到父节点的子节点 x->son[d^1]=y->son[d],y->son[d]=x;//更新指向关系 y->size=x->size;//更新size值 x->size=size(x->son[0])+size(x->son[1])+x->num; x=y;//别忘了将进入子树的指针指到y上 } void maintain(SBT *&x,int d){//平衡操作,检查(x->son[d]的子树是否比x->son[d^1]大) if(x->son[d]==NULL)return; if(size(x->son[d^1])<size(x->son[d]->son[d^1]))rotate(x->son[d],d),rotate(x,d^1); else if(size(x->son[d^1])<size(x->son[d]->son[d]))rotate(x,d^1); else return; maintain(x->son[0],0),maintain(x->son[1],1),maintain(x,0),maintain(x,1);//平衡子树后再平衡一次x } void insert(SBT *&x,int key){ if(!x){x=new SBT(key);return;} x->size++; if(x->key==key){x->num++;return;} int d=key>x->key; insert(x->son[d],key); maintain(x,d);//插入后平衡一遍 } void del(SBT *&x,int key){ if(x->key!=key){ del(x->son[key>x->key],key); x->size=size(x->son[0])+size(x->son[1])+x->num; return; } x->size--; if(x->num>1){x->num--;return;}//num>1直接num-1即可 SBT *p=x; if(x->son[0]==NULL)x=x->son[1],delete p; else if(x->son[1]==NULL)x=x->son[0],delete p; else{//用后继替换当前节点，删除后继 p=x->son[1]; while(p->son[0]){ p=p->son[0]; } x->num=p->num,x->key=p->key,p->num=1,del(x->son[1],p->key); } } int query_id(SBT *x,int key){//求数列中比key小的有几个 if(!x)return 0; if(x->key>key)return query_id(x->son[0],key); if(x->key==key)return size(x->son[0]); return query_id(x->son[1],key)+size(x->son[0])+x->num; } int query_k(SBT *x,int k){//求排第k的数 if(!x)return 0; if(size(x->son[0])>=k)return query_k(x->son[0],k); if(size(x->son[0])+x->num>=k)return x->key; return query_k(x->son[1],k-size(x->son[0])-x->num); } int ans; void pre(SBT *x,int num){//求num的前驱(即小于num的最大的数)，并存在ans里 if(!x)return; if(x->key<num)ans=x->key,pre(x->son[1],num); else pre(x->son[0],num); } void suc(SBT *x,int num){//求后继 if(!x)return; if(x->key>num)ans=x->key,suc(x->son[0],num); else suc(x->son[1],num); } void mid_traversal(SBT *x){//中序遍历 if(x->son[0])mid_traversal(x->son[0]); printf("%d ",x->key); if(x->son[1])mid_traversal(x->son[1]); } bool f=0; void check(SBT *x){ if(!x)return; check(x->son[0]); check(x->son[1]); if(x->size!=size(x->son[0])+size(x->son[1])+1)printf("woring"); } int main(){ freopen("1.in","r",stdin); freopen("1.out","w",stdout); int n,x,y;scanf("%d",&n); while(n--){ scanf("%d%d",&x,&y); switch(x){ case 1: insert(root,y); break; case 2: del(root,y); break; case 3: printf("%d ",query_id(root,y)+1); break; case 4: printf("%d ",query_k(root,y)); break; case 5: pre(root,y);printf("%d ",ans); break; default: suc(root,y);printf("%d ",ans); } // mid_traversal(root);printf(" "); } return 0; }