扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法是用来在已知不完全为0的非负整数a, b情况下求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d

证明：

a*x1+b*y1=gcd(a, b); 

b*x2+(a%b)*y2=gcd(b, a%b);

因为由欧几里德定理知：gcd(a, b)==gcd(b, a%b)

所以a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2;   　　因为r=a%b,   r =a-k*b所以==>

a*x1+b*y1=b*x2+(a-k*b)*y2;       　　因为k=a/b;所以　==>

a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)*y2;   　　展开得到　　==>　　　　

a*x1+b*y1=b*x2+a*y2-b*(a/b)*y2;　　转换得到      ==>

a*x1+b*y1=a*y2+b*(x2-(a/b)*y2);

观察上式可知 x1=y2, y1=x2-a/b*y2;注：所有除法向下取整

因此x1，y1是由x2，y2得出来的，同理x2，y2是由x3，y3得出来的，

那什么时候是终止呢？也就是递归gcd(a, b)中b=0时；也就是说此时a的值就是要求得最大公约数

即gcd(a, 0)此时由扩展欧几里得定律a*x+b*y==gcd(a, b)

知 a*x+b*y=a;

解出x=1, y=0;

这时往上回溯便可得到一组x1和y1的值

如果求x的最小正整数解

求出来x可能是负的，但是因为ax+by=gcd(a,b);所以a(x+bn)+b(y-an)=gcd(a,b);

那么xo=x+bn和yo=y-an都能是该方程的解

那么最小的正x则为(x%b+b)%b;

代码

#define ll long longvoid exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//a,b,x,y同ax+by=gcd(a,b)中的a,b,x,y 
    if(!b){
        x=1,y=0;return;
    }
    ll t;
    exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x,x=y,y=t-(a/b)*y;
}

 也可顺便把gcd（a，b）求出

#define ll long longvoid exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &d){//a,b,x,y同ax+by=gcd(a,b)中的a,b,x,y 
    if(!b){
        d=a,x=1,y=0;return;
    }
    ll t;
    exgcd(b,a%b,x,y,d);
    t=x,x=y,y=t-(a/b)*y;
}

 求乘法逆元

ax≡1 (mod p)，等同于ax+py=1;

因为a，p互素,所以等同于ax+py=gcd(a,p),就可以用扩展欧几里得求解了

代码：

#define ll long long
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//a,b,x,y同ax+by=gcd(a,b)中的a,b,x,y 
    if(!b){
        x=1,y=0;return;
    }
    ll t;
    exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x,x=y,y=t-(a/b)*y;
}
inline ll Inverse(ll a,ll p){//求a模p的乘法逆元 
    ll x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    return x;
}