二分图的最大匹配

转载自http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/11848327

二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U  和 V ，使得每一条边都分别连接U 、 V  中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配

      

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）

匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：

       

这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。

匈牙利算法的要点如下

1. 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
   1. 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
   2. 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
2. 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。

性能比较

两个版本的时间复杂度均为  O(V⋅E) 。DFS 的优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如 BFS。

补充定义和定理：

最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目
最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择
最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连
最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。

定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）
定理2：最大匹配数 = 最大独立数
定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

匈牙利算法

 http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=14

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                                        二分图的最大匹配 
                                        匈牙利算法 
                        

********************************************************************************************************/
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct Edge{
    int to,next;
}edge[10001];
int head[101],top,fa[101];//fa记录搭配的人 
int n,x,y,n1;
bool vis[101];//判断是否在增广路上 
bool dfs(int x){//判断是否存在增广路 
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
        int j=edge[i].to;
        if(!vis[j]){//增广路已经有过的节点不能选 
            vis[j]=1;
            if(fa[j]==-1||dfs(fa[j])){//j没人搭配或与j搭配的人能找到新的搭配（条件是搭配的人增多） 
                fa[j]=x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int hungary(){
    int res=0;
    memset(fa,-1,sizeof(fa));
    for(int i=1;i<=n1;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(dfs(i))res++; 
    }
    return res;  
}    
int main(){
    freopen("flyer.in","r",stdin);
    freopen("flyer.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&n1);
    while(scanf("%d%d",&x,&y)!=EOF){
        edge[++top].to=x;edge[top].next=head[y];head[y]=top;
        edge[++top].to=y;edge[top].next=head[x];head[x]=top;
    }
    printf("%d",hungary());
    return 0;
} 

 hopcroft karp算法

该算法主要是对匈牙利算法的优化，在寻找增广路径的时候同时寻找多条不相交的增广路径，形成极大增广路径集，然后对极大增广路径集进行增广。在寻找增广路径集的每个阶段，找到的增广路径集都具有相同的长度，且随着算法的进行，增广路径的长度不断的扩大。可以证明，最多增广n^0.5次就可以得到最大匹配。

算法流程

（1）从G=(X,Y;E)中取一个初始匹配。

（2）若X中的所有顶点都被M匹配，则表明M为一个完美匹配，返回；否则，以所有未匹配顶点为源点进行一次BFS，标记各个点到源点的距离。

（3）在满足dis[v] = dis[u] + 1的边集<v,u>中，从X中找到一个未被M匹配的顶点x0，记S = {x0}，T = ￠。

（4）若N（S） = T，则表明当前已经无法得到更大匹配，返回；否则取一y0∈N(S) - 。

（5）若y0已经被M匹配则转步骤（6），否则做一条x0->y0的M-增广路径P（x0,y0）,取M = M△P（x0,y0）。

（6）由于y已经被M匹配，所以M中存在一条边（y0,z0）去S = S∪ {z0}，T = T∪{y0}，转步骤（2）。

算法具体时间与分析

在寻找增广路径中可以对X中的每个未匹配的顶点进行BFS，BFS时对每个顶点维护一个距离编号dx[nx],dy[ny]，如果某个Y中的节点为未匹配点，则找到一条增广路径。BFS结束后找到了增广路径集。然后利用DFS与匈牙利算法类似的方法对每条增广路进行增广，这样就可以找到最大匹配。