问题定义
如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义"距离"为两节点之间边的个数。写一个程序求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。
书上的解法
书中对这个问题的分析是很清楚的，我尝试用自己的方式简短覆述。
计算一个二叉树的最大距离有两个情况:
- 情况A: 路径经过左子树的最深节点，通过根节点，再到右子树的最深节点。
- 情况B: 路径不穿过根节点，而是左子树或右子树的最大距离路径，取其大者。
只需要计算这两个情况的路径距离，并取其大者，就是该二叉树的最大距离。
我也想不到更好的分析方法。
但接着，原文的实现就不如上面的清楚 (源码可从这里下载):
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// 数据结构定义 struct NODE { NODE* pLeft; // 左子树 NODE* pRight; // 右子树 int nMaxLeft; // 左子树中的最长距离 int nMaxRight; // 右子树中的最长距离 char chValue; // 该节点的值 };
int nMaxLen = 0;
// 寻找树中最长的两段距离 void FindMaxLen(NODE* pRoot) { // 遍历到叶子节点，返回 if(pRoot == NULL) { return; }
// 如果左子树为空，那么该节点的左边最长距离为0 if(pRoot -> pLeft == NULL) { pRoot -> nMaxLeft = 0; }
// 如果右子树为空，那么该节点的右边最长距离为0 if(pRoot -> pRight == NULL) { pRoot -> nMaxRight = 0; }
// 如果左子树不为空，递归寻找左子树最长距离 if(pRoot -> pLeft != NULL) { FindMaxLen(pRoot -> pLeft); }
// 如果右子树不为空，递归寻找右子树最长距离 if(pRoot -> pRight != NULL) { FindMaxLen(pRoot -> pRight); }
// 计算左子树最长节点距离 if(pRoot -> pLeft != NULL) { int nTempMax = 0; if(pRoot -> pLeft -> nMaxLeft > pRoot -> pLeft -> nMaxRight) { nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxLeft; } else { nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxRight; } pRoot -> nMaxLeft = nTempMax + 1; }
// 计算右子树最长节点距离 if(pRoot -> pRight != NULL) { int nTempMax = 0; if(pRoot -> pRight -> nMaxLeft > pRoot -> pRight -> nMaxRight) { nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxLeft; } else { nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxRight; } pRoot -> nMaxRight = nTempMax + 1; }
// 更新最长距离 if(pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight > nMaxLen) { nMaxLen = pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight; } } |
这段代码有几个缺点:
- 算法加入了侵入式(intrusive)的资料nMaxLeft, nMaxRight
- 使用了全局变量 nMaxLen。每次使用要额外初始化。而且就算是不同的独立资料，也不能在多个线程使用这个函数
- 逻辑比较复杂，也有许多 NULL 相关的条件测试。
我的尝试
我认为这个问题的核心是，情况A 及 B 需要不同的信息: A 需要子树的最大深度，B 需要子树的最大距离。下面的maxdepth就是最大深度，从root根节点-------叶子节点，lhs和rhs子树的maxdistance是子树中的节点之间的最大距离，最后result的maxdistance是最终的最大距离，这个距离的节点可能在不同的子树中，也可能在同一子树中。。。。。
只要函数能在一个节点同时计算及传回这两个信息，代码就可以很简单:
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#include <iostream>
using namespace std;
struct NODE { NODE *pLeft; NODE *pRight; };
struct RESULT { int nMaxDistance; int nMaxDepth; };
RESULT GetMaximumDistance(NODE* root) { if (!root) { RESULT empty = { 0, -1 }; // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero. return empty; }
RESULT lhs = GetMaximumDistance(root->pLeft); RESULT rhs = GetMaximumDistance(root->pRight);
RESULT result; result.nMaxDepth = max(lhs.nMaxDepth + 1, rhs.nMaxDepth + 1); result.nMaxDistance = max(max(lhs.nMaxDistance, rhs.nMaxDistance), lhs.nMaxDepth + rhs.nMaxDepth + 2); return result; } |
计算 result 的代码很清楚；nMaxDepth 就是左子树和右子树的深度加1；nMaxDistance 则取 A 和 B 情况的最大值。
为了减少 NULL 的条件测试，进入函数时，如果节点为 NULL，会传回一个 empty 变量。比较奇怪的是 empty.nMaxDepth = -1，目的是让调用方 +1 后，把当前的不存在的 (NULL) 子树当成最大深度为 0。
除了提高了可读性，这个解法的另一个优点是减少了 O(节点数目) 大小的侵入式资料，而改为使用 O(树的最大深度) 大小的栈空间。这个设计使函数完全没有副作用(side effect)。
测试代码
以下也提供测试代码给读者参考 (页数是根据第7次印刷，节点是由上至下、左至右编号):
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void Link(NODE* nodes, int parent, int left, int right) { if (left != -1) nodes[parent].pLeft = &nodes[left];
if (right != -1) nodes[parent].pRight = &nodes[right]; }
void main() { // P. 241 Graph 3-12 NODE test1[9] = { 0 }; Link(test1, 0, 1, 2); Link(test1, 1, 3, 4); Link(test1, 2, 5, 6); Link(test1, 3, 7, -1); Link(test1, 5, -1, 8); cout << "test1: " << GetMaximumDistance(&test1[0]).nMaxDistance << endl;
// P. 242 Graph 3-13 left NODE test2[4] = { 0 }; Link(test2, 0, 1, 2); Link(test2, 1, 3, -1); cout << "test2: " << GetMaximumDistance(&test2[0]).nMaxDistance << endl;
// P. 242 Graph 3-13 right NODE test3[9] = { 0 }; Link(test3, 0, -1, 1); Link(test3, 1, 2, 3); Link(test3, 2, 4, -1); Link(test3, 3, 5, 6); Link(test3, 4, 7, -1); Link(test3, 5, -1, 8); cout << "test3: " << GetMaximumDistance(&test3[0]).nMaxDistance << endl;
// P. 242 Graph 3-14 // Same as Graph 3-2, not test
// P. 243 Graph 3-15 NODE test4[9] = { 0 }; Link(test4, 0, 1, 2); Link(test4, 1, 3, 4); Link(test4, 3, 5, 6); Link(test4, 5, 7, -1); Link(test4, 6, -1, 8); cout << "test4: " << GetMaximumDistance(&test4[0]).nMaxDistance << endl; } |