题目:
草原上住着一群小松鼠,每个小松鼠都有一个家。时间长了,大家觉得应该聚一聚。但是草原非常大,松鼠们都很头疼应该在谁家聚会才最合理。
每个小松鼠的家可以用一个点x,y表示,两个点的距离定义为:点(x,y)和它周围的8个点(x-1,y),(x+1,y),(x,y-1),(x,y+1),(x-1,y+1),(x-1,y-1),(x+1,y+1), (x+1,y-1)距离为1。
输入
第一行是一个整数N,表示有多少只松鼠。接下来N行,第i行是两个整数x和y,表示松鼠i的家的坐标。(0≤N≤105,−109≤x,y≤109)
输出
一个整数,表示松鼠为了聚会走的路程和最小是多少。
样例输入1
6
-4 -1
-1 -2
2 -4
0 2
0 3
5 -2
样例输出1
20
样例输入2
6
0 0
2 0
-5 -2
2 -2
-1 2
4 0
样例输出2
15
提示
在第一个样例中,松鼠在第二只松鼠家(-1,-2)聚会;在第二个样例中,松鼠在第一只松鼠家(0,0)聚会
题解:此题中定义的两点间距离,稍加分析就会发现是max(|xi-xj|, |yi-yj|);
此时需要用到一个公式:
max(|a|,|b|)=|(a+b)/2|+|(a-b)/2|;
于是,两点间距离成了:
|(xi-xj+yi-yj)/2|+|(xi-xj-yi+yj)/2|
= (|(xi+yi) - (xj+yj)| + |(xi-yi)-(xj-yj)|)/2
公式中需要用xi+yi, xi-yi的值,这其实对应于点(xi,yi)在另一个坐标系中的坐标。我们对原来的点坐标做变换,令x'=x+y, y'=x-y,则上面的公式变成了:
(|xi'-xj'| + |yi'-yj'|)/2
分析到这儿就好做了,对于给定的点pi, 计算∑(|xi'-xj'| + |yi'-yj'|)/2还是很容易的,先整体做一遍预处理,按x排序计算一遍x坐标的前缀和,再按y排序,计算一次y坐标的前缀和就可以了。
代码如下:
1 #include <cstdio> 2 #include <algorithm> 3 #include <iostream> 4 using namespace std; 5 #define ll long long 6 #define N 101000 7 struct point { 8 ll x, y; 9 ll sx, sy; 10 int cx, cy; 11 }p[N]; 12 13 ll sumx, sumy; 14 15 bool cmpx(point a, point b){ 16 return a.x < b.x; 17 } 18 19 bool cmpy(point a, point b){ 20 return a.y < b.y; 21 } 22 23 int main() 24 { 25 int n; 26 while(~scanf("%d", &n)) 27 { 28 sumx = sumy = 0; 29 ll x, y; 30 for(int i = 0; i < n; i++) 31 { 32 scanf("%lld %lld", &x, &y); 33 p[i].x = x+y, p[i].y = x-y; 34 sumx += p[i].x, sumy += p[i].y; 35 } 36 sort(p, p+n, cmpx); 37 p[0].sx = p[0].cx = 0; 38 for(int i = 1; i < n; i++) 39 { 40 p[i].sx = p[i-1].sx + p[i-1].x; 41 p[i].cx = p[i-1].cx + 1; 42 } 43 44 sort(p, p+n, cmpy); 45 p[0].sy = p[0].cy = 0; 46 for(int i = 1; i < n; i++) 47 { 48 p[i].sy = p[i-1].sy + p[i-1].y; 49 p[i].cy = p[i-1].cy + 1; 50 } 51 ll ans = -1; 52 for(int i = 0; i < n; i++) 53 { 54 ll tm = p[i].cx*p[i].x - p[i].sx + (sumx-p[i].sx-p[i].x)-((n-p[i].cx-1)*p[i].x); 55 tm += p[i].cy*p[i].y - p[i].sy + (sumy-p[i].sy-p[i].y)-((n-p[i].cy-1)*p[i].y); 56 if(ans == -1 || tm < ans)ans = tm; 57 } 58 printf("%lld ", ans/2); 59 } 60 return 0; 61 }