参数估计就是要从样本出发构造一些统计量作为总体某些参数（或数字特征）的估计量。
点估计就是构造统计量。
j=1,2,…n
以
的值作为
的近似值。对
进行估计，叫(点)估计量。若样本值代入
称为
的估计值。
区间估计是根据样本构造出适当的区间，它以一定的概率包含未知参数。
§7.1 点估计
（一）矩估计法
1.矩估计法的基本思想
在总体的各阶矩存在的条件下，用样本的各阶矩去估计总体相应的各阶矩，又由于总体的分布类型已知，总体的各阶矩可表示为未知参数的已知函数，这样样本的各阶矩就与未知参数的已知函数联系起来，从而得到参数的各阶矩。
2.一般求法
=1,2…k
=1,2…k
令 
=1,2…k
将
代入中，
=1,2…k
例 2 P159总体X~U[a,b],参数a,b未知，求a,b的矩估计。
例 3 P160
以下为第一版例。
例7：总体X~U[0,b],参数b未知，求b的矩估计。
例8：总体
，
未知，已知
是来自总体X的样本值，求
的矩估计。
例9：总体的概率密度为
参数
均未知，
是来自总体的样本，求
的矩估计。
３.总体的数学期望与方差的矩估计
已知总体的二阶矩存在，
是来自总体的样本值。E(X),D(X)的矩估计是
注意： 此结论用于只要E(x)、D(x)存在的，不论分布是否已知的各类型总体的数字特征E(X)、D(X)的矩估计。
例：总体X~B(N,p)， 参数N、0<p<1均未知，已知
是来自总体的样本值，求N,p的矩估计 。
(二) 最大似然估计法
- 最大似然估计法的基本思想
例：设在一个口袋中装有许多白球和黑球，但不知是黑球多还是白球多，只知道两种球的数量之比为1:3就是说抽取到黑球的概率
为
或
。
如果用有放回抽取的方法从口袋中抽取n=3个球，发现有一个是黑球，试判断p=?。
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
当
时，P（取的三个球中有一个黑球）=
大。选取参数
总体较合理。故取p的估计值
。
最大似然估计基本思想：根据样本的具体情况，选择参数p的估计
，使得该样本发生的概率最大。
2.最大似然估计的求法
设总体
的形式已知，参数
未知(j=1,2…m)，
是来自总体的样本值。
记
，选择参数的估计
，使样本
取值
附近的概率
…
=
=
达到最大，
等价使
达到最大。
称L=L(
)=
为样本值
的似然函数。
定义7.1如果似然函数L=L(
)在
达到最大值，则称
分别为
的最大似然估计。
2.一般步骤
(1).当似然函数可微且参数集合是开集的条件下：
- 总体
，
i =1,2…n
L=L(
)=
取对数 
②
③由似然方程解出
=?.。讨论
是最大值点，则它是
的最大似然估计。
例4 P162 
，求未知参数 
的最大似然估计。
例 5 P163 总体
，
未知, 已知
是来自总体X的样本值,求
的最大似然估计。
例 6 P165 总体X~U[a,b]，参数a,b未知， 已知
是来自总体的样本值，求b的最大似然估计。
以下为第一版例。
例2：总体
=
参数
未知，
是来自总体的样本值，求
的最大似然估计。
例3：
，求未知参数 
的最大似然估计。［见书P159，例7.1］
总体X是离散值，一定要写出X的概率函数。
例4：一个罐子里装有黑球和白球，每次从中随机的有放回地抽取一个球，直到抽到黑球为止。设停止抽球时所需抽取数是X，这样独立重复的进行了n次实验，获得样本
，试求罐子里黑球所占的比例中的最大似然估计。
例5：X服从参数为
的威布尔分布，而
=
m>0,
>0且
未知，
是来自总体的样本值，求参数的最大似然估计。
(2)当似然函数L不可数时，或似然函数无解，要用定义求参数的最大似然估计。
例6：总体X~U[0,b]，参数b未知， 已知
是来自总体的样本值，求b的最大似然估计。
3.未知参数的已知函数的最大似然估计有如下规定：
若
，未知参数的已知函数为
，
分别为
的最大似然估计，则规定g(
)为g(
)的最大似然估计。
例：P
习题7.5。
§7.2 估计量评选标准
1.无偏性：
定义：设
(
)是
的估计量，若E(
)=
，对一切
，则称
为
的无偏估计量，否则称为
的有偏估计量。其偏差度为
= E(
)－
。如果
E(
)=
，则称
为
的渐近无偏估计量。
书上定义是对g(
)而言的：
定义：设未知参数的已知函数g(
)的估计量为
,如果对一切
都有
则称
为
的无偏估计量。
例10：设总体有二阶矩，E(X)=
,D(X)=
存在，
是该总体的样本，证明
为
的无偏估计，
为
的无偏估计，但
不是
的无偏估计，是
的渐近无偏估计。
例11：总体X~U[a,b]，b>0，试问b的矩估计
是否是b的无偏估计量。
注意:
(1)若
为
的无偏估计，g(
)为
的已知函数，而g(
)不一定是g(
)的无偏估计。
(2)有时
的有偏估计也可稍加修改为无偏估计。
例：设
，
是
的无偏估计，但
不是
的无偏估计，可修改为
它是
的无偏估计。
２.有效性
定义:若
和
都为
的无偏估计量。若
，
且至少对一个
，有严格不等号成立，则称
比
有效。
例12：比较
，
,(
)。估计
，哪个有效。
定义：设
和
都是g(
)的估计量， 如果对一切
都有
-g(
)]
- g(
)]
且存在
，有严格不等号成立，则称
比
有效。
此定义为均方误差准则。
３.相合性（一致估计量）
定义7.5：设g(
)的估计量为
，如果对任意的
>0,都有
=1
则称
为
的相合估计量。
§7.2 区间估计
一.基本概念
设
, 
是两个统计量，且满足
，则称[A,B]为一随机区间。
定义7.6：对于给定的正数
，如果对一切
都有
则称[A,B]为
的置信度为
的置信区间，称
为置信区间的置信度，称A、B分别为置信下限和置信上限。
常用的形式：
例：某旅游社为调查当地每一旅游者的平均消费额，随机访问了100名旅游者，得知平均消费额
（元）。根据经验，已知旅游者消费额服从正态分布
，且标准差
（元），那麽该地旅游者平均消费额
的置信度为95%的置信区间是什麽。
设旅游者消费额为
，且知
，此题是求
的置信区间的问题。
（1）找
的较好点估计（最大似然估计或无偏估计），
。
（2）为使
，要选有关
与
的函数且知其分布。当已知
时，
，
称
为枢轴变量。对给定的
，使
（3）将不等式 
等价变形
本例，计算 
得到，当地每位旅游者置信度为95%的平均消费额在[77.6元，82.4元]之间。
Data;
u=probit(1-0.05/2);put u=;
A=80-(u*12)/sqrt(100); put A=;
B=80+(u*12)/sqrt(100); put B=;
run;
u=1.9599639845
A=77.648043219
B=82.351956781
定义：
叫区间半径，
叫区间中心，
叫区间长度。
二.置信区间的一般求法 (枢轴量法)
(1)从
的一个较好点估计
出发，构造
与
的一个函数
，且知其分布又与
无关，函数H称为枢轴变量。
(2)记H的上
分为数和上（1-
）分位数为
和
，使对给定的
，有
利用不等式运算，将不等式
进行等价变形，使得最后得到形如：
的不等式。
则
就是
的
置信区间，这时有：
定义：
叫区间半径，
或
叫区间长度。
例1 P170，计算机实现过程。
Data;
z=probit(1-0.05/2);put z=;
A=5.2-(z*1)/sqrt(16); put A=;
B=5.2+(z*1)/sqrt(16); put B=;
C=B-A; put C=;
run;
z=1.9599639845
A=4.7100090039
B=5.6899909961
C=0.9799819923
P171页下面部分的数值解释。
Data;
u1=probit(0.04);put u1=;
u2=probit(1-0.01);put u2=;
A=5.2+(u1*1)/sqrt(16); put A=;
B=5.2+(u2*1)/sqrt(16); put B=;
C=B-A; put C=;
run;
u1=-1.750686071
u2=2.326347874
A=4.7623284822
B=5.7815869685
C=1.0192584863
三.正态总体的参数的区间估计
1.一个正态总体的均值、方差的置信区间
设总体
，
是来自总体
的样本
(1)
已知，均值
的置信度为
的置信区间为：
(2)
未知，均值
的置信度为
的置信区间为：
。
(3)
未知，方差
的置信度为
的置信区间为：
的
的置信区间为：
- 两个正态总体均值差方差比的置信区间
总体 | 样本 | 均值 | 样本方差 |
|
|
|
|
|
|
|
|
两个样本相互独立。
(1)
已知，均值差
的置信区间为
(2)
未知，但
，
的置信区间为
[
]
(3)
未知，方差比
的置信区间为：
[
]
(4) 
已知，
的置信区间为：
[
]
- P174
Data;
t=TINV((1-0.05/2),15); put t=;
A=503.75-t*6.2022/sqrt(16); put A=;
B=503.75+t*6.2022/sqrt(16); put B=;
C=B-A; put C=;
run;
t=2.1314495456
A=500.44508091
B=507.05491909
C=6.6098381857
例2 P175
Data;
k1=CINV(1-0.05/2, 15);put k1=;
k2=CINV(0.05/2, 15);put k2=;
A=sqrt(15)*6.2022/sqrt(k1); put A=;
B= sqrt(15)*6.2022/sqrt(k2); put B=;
C=B-A; put C=;
run;
k1=27.488392863
k2=6.262137795
A=4.5815952687
B=9.5990905015
C=5.0174952328
例 3 P177
Data;
t=tINV(1-0.05/2, 28);put t=;
sw=sqrt((9*1.1**2+19*1.2**2)/28); put sw=;
A=500-496-sw*t*sqrt(1/10+1/20); put A=;
B=500-496+sw*t*sqrt(1/10+1/20); put B=;
C=B-A; put C=;
run;
t=2.0484071418
sw=1.1687905837
A=3.0727462146
B=4.9272537854
C=1.8545075707
例 4 P177
Data;
t=tINV(1-0.05/2, 14);put t=;
sw=sqrt((7*3.89+7*4.02)/14); put sw=;
A=91.73-93.75-sw*t*sqrt(1/8+1/8); put A=;
B=91.73-93.75+sw*t*sqrt(1/8+1/8); put B=;
C=B-A; put C=;
run;
t=2.1447866879
sw=1.9887181801
A=-4.152688139
B=0.1126881394
C=4.2653762788
例 5 P179
data ;
F1=FINV(1-0.1/2, 17,12) ; put F1=;
F2=FINV(0.1/2, 17,12) ; put F2=;
A=0.34/(0.29*F1); put A=;
B=0.34/(0.29*F2); put B=;
C=B-A; put C=;
Run;
F1=2.5828389059
F2=0.4200526125
A=0.4539244745
B=2.7911117756
C=2.3371873011
§7.5 (0---1)分布参数的区间估计
P179
例 P180
data;
z=probit(1-0.05/2);put z=;
a=100+z**2; put a=;
b=-(2*100*0.6+z**2); put b=;
c=100*0.6**2; put c=;
p1=1/(2*a)*(-b-sqrt(b**2-4*a*c)); put p1=;
p2=1/(2*a)*(-b+sqrt(b**2-4*a*c)); put p2=;
p=p2-p1; put p=;
run;
z=1.9599639845
a=103.84145882
b=-123.8414588
c=36
p1=0.5020025868
p2=0.6905987136
p=0.1885961268
§7.6 单侧置信区间
对于均值，单侧置信区间下限。公式（6.4）
对于方差，单侧置信区间上限。公式（6.6）
例 P182
Data;
t=tINV(1-0.05, 4);put t=;
mu=1160-sqrt(9950/5)*t; put mu=;
run;
t=2.1318467863
mu=1064.8995598
习题：
1，2，3，5，6，10，14，15，19，25
