第五章 大数定律和中心极限定理

第五章 大数定律和中心极限定理

§1 大数定律

设X₁,X₂,...X_n,...是一随机变量列，a₁,a₂,...a_n,...是一常数列，令Y_n= n=1,2,...,，所谓大数定律就是研究(Y_n-a_n)收敛到0的定理。按收敛意义的不同，有弱大数定律和强大数定律。我们主要介绍弱大数定律，弱大数定律也称大数定律。

 

契比雪夫不等式

设R.V.X，其都存在，则对任意均有

或

 

一、大数定律

定理5.1:(契比雪夫大数定律）

若X₁,X₂,...X_n,...相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，即E(X _i)=m_i, D(X_i)=s_i²£C(常数） i=1,2,...

则对任意的e>0，均有

P{êY_n-E(Y_n)ï<e}=1 (5.1)

其中Y_n=

 

定理5.2（伯努利大数定律）

设伯努利试验中，事件A发生的概率为p(0<p<1)，m为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则对任意的e>0，均有

(5.2)

 

定理5.3 （辛钦大数定律）

若X₁,X₂,...,X_n,...相互独立同分布，其数学期望存在，即E(X_i)=m,i=1,2,...，则对任意的e>0，均有

(5.3)

 

例:设X₁,X₂,...,X_n,...独立同分布，且X _i的k阶矩m _k=E(X _i^k)存在（k为正整数），则对任意的e>0，均有

 

二、中心极限定理

定理5.4 (林德贝格-莱维定理）

若X₁,X₂,...,X_n,...相互独立同分布，其数学期望和方差均存在且方差大于零，即E(X_i)=m, D(X_i)=s²>0, i=1,2,...则的标准化随机变量的分布函数对于任意的x满足

即的分布函数.

当很大时近似公式

.

 

例:为了把问题简化，假定在计算机上进行加法计算时，对每个数都取最接近它的整数（即取整）再相加。设n个数取整之后的误差依此为它们相互独立，都在[-0.5，0.5]上服从均匀分布。求

1. 1200个数相加时，误差总和的绝对值小于10的概率。
2. 多少个数相加时，误差总和的绝对值小于15的概率大于0.9。

 

定理5.5:（德莫佛-拉普拉斯积分极限定理）

设伯努利试验中，事件A发生的概率为p(0<p<1)，m为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则对任意的x,均有

 

应用：当n充分大，.

例:有一大批种子其中良种占20%，从中任取5000粒，试问这些种子中良种所占比例与（即20%）之差小于0.01的概率。

注 ：* 可认为是有放回抽取。

 

例.设某车间有150台机床独立工作， 已知每台机床在运转时耗电量都是5(千瓦).因检修等原因,每台机床平均只有60%的时间在运转.试问,配电室至少要供给这个车间多少电.才能以99.9%的概率保证这个车间不致因供电不足而影响机床工作.

 

实用中： 较小，，；

　    　较大，较小，适中，　为好，.

　　较大，时，.