• 第三章 多维随机变量及其分布1


    随机向量的定义:

    随机试验的样本空间为S={w},若随机变量X1(w),X2(w),,Xn(w)定义在S上,则称(X1(w),X2(w),,Xn(w))为n维随机变量(向量)。简记为(X1,X2,,Xn)。

    二维随机向量(X,Y),它可看作平面上的随机点。

    对(X,Y)研究的问题:

    1.(X,Y)视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度;Joint

    2.分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘(际)分布律、边缘分布函数、边缘概率密度;

    marginal

    3.X与Y的相互关系;

    4.(X,Y)函数的分布。

     

     

    § 3.1 二维随机变量的分布

     

    一.离散型随机变量

    1.联合分布律

    定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

    设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i,j=1,2…,取这些值的概率为

    pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…

    ——(3.1)

    称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。

    (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下:

    Y

    X

    y1 y2 … yj

    X的边缘分布率

    X1

    p11 p12 p1j

    P1·.

    X2

    p21 p22 p2j

    P2·

    M

    M M M

    M

    xi

    pi1 pi2 pij

    Pi·

    M

    M M M

    M

    Y的边缘分布率

    P·1 p·2 M p·j

    1

    性质:

    (1) pij ³ 0,i, j=1,2,…

    (2) =1

    2.边缘分布律

        设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为

    pij= P{X=xi,Y=yi} i, j=1,2,…

    分量X和Y的分布律分别为

    pi.=P{X=xi} i=1,2,… 满足①pi.³0②S pi.=1

    p.j= p{Y=yi}j=1,2,… ①p.j³0②S p.j=1

    我们称pi.和p.j分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律,简称为(X,Y)的边缘分布律。

    二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系:

    pi.=P{X=xi}=P{X=xi, S}=P{X=xi,(Y=yj)} =P{X=xi,Y=yj}=pij (3.4)

    同理可得

    p.j =pij (3.5)

        例1:一整数X随机地在1,2,3三个整数中任取一值,另一个整数Y随机地在1到X中取一值。试求(X,Y)的联合分布率及边缘分布率。

    解:

    Y

    X

    1

    2

    3

    X的边缘分布率

     

    1

    1/3

    0

    0

    1/3

    p1·

    2

    1/6

    1/6

    0

    1/3

    p2·

    3

    1/9

    1/9

        1/9

    1/3

    p3·

    Y的边缘分布率

    11/18

    5/18

    1/9

    1

     
     

    P·1

    p·2

    p·3

     

    二.联合分布函数与边缘分布函数

    1.定义3.2 设(X,Y)是二维随机变量,对任意的实数x,y令

    F(x,y)=P{X£x,Y£y} (3.7)

    则称 F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数。

    2.F(x,y)的性质:

    性质1 对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数,即若x1<x2,对任意的实数y,则有 F(x1,y)£F(x2,y);

    若y1<y2,对任意的实数x,则有 F(x,y1)£F(x,y2)。

    性质2 对于任意的实数x,y,均有

    0£F(x,y)£1, F(x,y)=0,

    F(x,y)=0, F(x,y)=1。

    性质3 对于x和y,F(x,y)都是右连续的,即对任意的实数x0和y0,均有

    F(x,y)=F(x0,y),

    F(x,y)=F(x,y0)。

    性质4 若x1<x2, y1<y2, 则

    F(x2,,y2)-F(x2,y1) -F(x1,y2)+F(x1,y1)³0

        (X,Y)落于下图阴影部分的矩形区域内的概率为:

    F(x2,,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)

    =P{x1<X£x2,y1<Y£y2}

    例 2 P71,

    照书上讲。

    3.边缘分布

    (X,Y)的分量X,Y的分布函数分别为FX(x)和FY(y),称它们为X,Y的边缘分布函数。它们与F(x,y)的关系如下:

    FX(x)=P{X£x}=P{X£x,-<Y<+}=F(x,+),

    FY(y)=P{Y£y}=P{-<X<+,Y£y}=F(+,y)。

    例2:(第一版)设

    ,

    求:(1) (X,Y)的边缘分布函数;

    (2)P(1x2,-1y3)。

    (3)P(X>2,Y>3)=1- P(X2,Y3)?

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/begtostudy/p/1985576.html
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