• 第二章 随机变量及其分布3


    §2.4 连续型随机变量

     

    1. 定义2.2

     

    设随机变量X的分布函数为F(),如果存在一个非负可积函数f(),使对任意的实数,均有

    F()= (2.20)

    则称X是连续型随机变量,称f()X的概率密度或密度函数,简称密度。

     

    二、图形

    例如:正态分布

     

    密度函数图形:

     

    data normal;

    do i=-3 to 3 by 0.01;

    z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));

    output;

    end;

    run;

     

    proc gplot data=normal;

    plot z0*i=1 ;

    symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

    run;

     

    分布函数图形:

     

    data normal;

    do x=-3 to 5 by 0.01;

    y=PROBNORM(x);

    output;

    end;

    run;

     

    proc gplot data=normal;

    plot y*x=1 ;

    symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

    run;

     

     

    三、性质

     

    性质1 f()0 (2.21)

     

    性质2 (2.22)

     

    性质3 P(a<Xb)=F(b)-F(a)

    = (2.23)

     

    性质4 f()的连续点处,有

    = (2.24)

     

    性质5 f()的连续点处,当>0,且很小时,有

    P(<X)= +

     

    几点说明:

    1. 5可以看出f()值的大(小)反映R.V.X在邻域概率的大(小)。
    2. 连续型随机变量X取任一点0的概率为零。即:P(X=0)=0
    3. 连续型随机变量X的密度函数为f(),则它取值于区间(a,b)、(a,b][a,b)、[a,b]上的概率都相等,即

    同理,

    4.连续型R.V.X的F()是连续函数。但f()不一定是连续的。

     

    例1:(P51)设计R.V.X具有概率密度

     

    确定常数K,并求P{X>0.1}

     

    指数分布:

     

     

     

     

    例:(第一版)设R.V.

    (1)确定常数A(2)写出X的分布函数F(); (3)P

     

    例:(第一版) 已知随机变量

    1. 确定A和B;(2)求;(3)求

     

    二、均匀分布

     

    例:设R.V.,称X[,b]上服从均匀分布。(1)确定k。(2)求P(a<Xa+s)(a<a<a+s<b)(3)写出X的分布函数F()

    定义:若随机变量X的概率密度为

    则称X[]上服从均匀分布,记为XU[a,b],相应的分布函数为

     

    一般地,设是轴上一些不相交的区间之和,若的概率密度为

    则称XD上服从均匀分布。

    如果,则对于满足的任意的, = (2.32)

     

    三、指数分布

    若随机变量X的概率密度为

    2.33

    其中常数,则称X服从参数为l的指数分布,相应的分布函数为

    (2.34)

     

     

    例:(第一版书上例2.12 经过长期的观测,对某些电子元件的寿命可作如下假定:在已使用了th的条件下,在以后的Dth内损坏的概率为,其中l是不依赖于t的常数;电子元件寿命为零的概率是零,求电子元件在内损坏的概率。略

     

    四、正态分布

     

    1、定义: 若随机变量X的概率密度为

    , (2.35)

    其中都为常数且,则称X服从参数为的正态分布,记为,有时也简称X为正态随机变量。X的分布函数为

    2.36

    1. 验证

    1. 作出的图形

        ,得驻点

        

        

     

     

     

    作图SAS程序:

     

    data normal;

    do i=-3 to 3 by 0.01;

    z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));

    output;

    end;

    run;

     

    proc gplot data=normal;

    plot z0*i=1 ;

    symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

    run;

     

     

     

    注意:一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。

     

     

    data normal;

    retain _seed_ 0;

    do _i_ = 1 to 1000;

    z = 0 + 1 * rannor(_seed_);

    output;

    end;

    drop _seed_ ;

     

    run;

     

    proc gplot data=normal;

    plot z*_i_=1 ;

    symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

    run;

     

     

     

    1. 性质:
      1. f(x)的图形是关于直线x=m对称的曲线
      2. 为最大值,当x远离m时,f(x)®0
      3. m固定而s变化时对图形的影响,s

    大,分布曲线在形成陡峭的高峰。

    s小,分布曲线在变成缓峰。

     

    m=2, s=0.5, 1, 2

     

    data normal;

    do i=-2 to 6 by 0.01;

    z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));

    z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));

    z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));

    output;

    end;

    proc gplot data=normal;

    plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 /overlay ;

    symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

    run;

     

    m=2, s=0.5, 1, 2, 5, 10图形:

     

     

    data normal;

    do i=-5 to 9 by 0.01;

    z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));

    z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));

    z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));

    z3=exp(-(i-2)**2/(2*25))/(5*sqrt(2*(3.1415926)));

    z4=exp(-(i-2)**2/(2*100))/(10*sqrt(2*(3.1415926)));

    output;

    end;

    run;

     

    proc gplot data=normal;

    plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 z3*i=1 z4*i=1 /overlay ;

    symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

    run;

     

    1. s固定而当m变化时对图形的影响是分布曲线形状不变,仅曲线左、右平移。

     

    如图:s=1, m=0, 2

     

    data normal;

    do i=-3 to 5 by 0.01;

    z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));

    z1=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));

     

     

    output;

    end;

    run;

     

    proc gplot data=normal;

    plot z0*i=1 z1*i=1/overlay ;

    symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

    run;

     

     

    分布函数图:

     

    data normal;

    do x=-5 to 10 by 0.01;

    y=PROBNORM(x);

    output;

    end;

    run;

     

    proc gplot data=normal;

    plot y*x=1 ;

    symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

    run;

     

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