§6 平面直角坐标变换
一 平移坐标变换
定义：若二平面直角坐标系{O；i，j}和{O′；i′，j′}满足i=i′，j=j′，则坐标系{O′；i′，j′}可看成是由{O；i，j}经过平移得到的，称由坐标系{O；i，j}到坐标系{O′；i′，j′}的变换为平移坐标变换。
平移变换公式
设平面上一点M在新系{O′；i′，j′}与旧系{O；i，j}下的坐标分别为
（x′，y′），（x,y），而O′在旧系下的坐标为（a,b），则
xi+yj= 
= 
+
=ai+bj+x′i′+y′j′
=ai+bj+x′i+y′j=（a+x′）i+（b+y′）j
∴
——平移坐标变换公式
二 旋转坐标变换：
定义：若二坐标系{O；i，j}和{O′；i′，j′}满足O≡O′，另∠（i，j′）=θ
则坐标系{O′；i′，j′}可看成是由坐标系{O；i，j}绕O旋转θ角得到的，称由{O；i，j}到{O′；i′，j′}的变换为旋转坐标变换。
旋转变换公式
由于∠（i，i′）=0，∴∠（i，j′）=
+θ
∴i′=cosθi+sinθj，j′=cos（
+θ）i+sin（
+θ）j=-sinθi+cosθj
∴xi+yj=
=
=x′i′+y′j′=x′（cosθi+sinθj）+y′（-sinθi+cosθj）
=（x′cosθ-y′sinθ）i+（x′sinθ+y′cosθ）j
即
用x,y表示x′，y′，有
三 一般坐标变换：
称由坐标系{O；i，j}得坐标系{O′；i′，j′}的变换为一般坐标变换。
注： 一般坐标变换可分两步来完成，首先将坐标系{O；i，j}平移成
{O′；i′，j′}，再将此坐标系绕O′旋转θ=∠（i，i′）角，即得
{O′；i′，j′}。
一般变换公式：
设平面上任一点关于旧系{O；i，j}与新系{O′；i′，j′}的坐标分别为（x,y）
（x′，y′），关于{O′；i，j}的坐标为（x″，y″），而O′在{O；i，j}下的坐标为（a,b），则
而
∴
用x,y表示x′，y′，有
注：上述坐标变换亦可先旋转，再平移而完成。
例：设有二坐标系{O；i，j}和{O′；i′，j′}，且知i′，j′所在直线在坐标系{O；i，j}下的方程为
x+
y+
=0，
x+
y+
=0，试求坐标变换公式。
解:设平面上任一点P在旧系与新系下的坐标分别为（x,y）（x′，y′）
则P到i′所在直线的距离用新坐标表示为
∣y′∣=
从而 y′=±
同理 x′=±
即 
注：上式±号的选取应注意到
±
=±
如i′所在直线为2x-y+3=0，j′所在直线为x+2y-2=0，则坐标变换公式为
或 
四 坐标变换下，二次曲线方程的系数的变化规律：
1 在平移下
设将坐标原点平移O′（
，
），则平移公式为
则在新系{O′；i，j}≡
（x+
）²+2
（
+x′）（
+y′）+
（
+y′）²
+2
（x′+
）+2
（y′+
）+
=0
若记
（x′，y′）≡F（x′+
，y′+
）
=
′x′²+2
′x′y′+
y′²+2
′x′+2
′+
′，则 
′=
′=
+
+
=F1（
，
）
′=
′=a21
+
+
=F2（
，
）
′= 
′=
²+2
+
²+2
+2
+
=F（
，
）
可见：在平移变换下，二次曲线方程的
（1）二次项系数不变；
（2）一次项系数变为
（
，
），
（
，
）；
（3）常数项变为F（
，
）。
从而若取
（
，
）为二次曲线F（x，y）=0的中心，则在新系下，方程中将无一次项。
2 在旋转变换下，设旋转角为θ，则平面上一点在旧系与新系下的坐标（x,y）（x′，y′）间满足
∴二次曲线在新系下的方程为
F′（x′，y′）=F（x′cosθ-y′sinθ，+x′sinθ+y′cosθ）
=
（x′cosθ-y′sinθ）²+2
（x′cosθ-y′sinθ）（+x′sinθ+y′cosθ）+
（+x′sinθ+y′cosθ）²+2
（x′cosθ-y′sinθ）
+2
（+x′sinθ+y′cosθ）+
=0
若记F′（x′，y′）≡
′x′²+2
′x′y′+
′y′²+2
′x′+2
′y′+
′ 则
可见，在旋转变换下，二次曲线方程
1）二次项系数一般可变，但新系下方程的二次项系数仅与旧系下方程的二次项系数及旋转角θ有关；
2）一次项系数一般也可边，但新方程中有一次项〈═〉旧方程有一次项；
3）常数项不变。
从
的公式表达式可见，若选取α角，使
（
即 ceg2θ=
作旋转变换，则新方程中将不会交叉乘积项。
