§7 二次曲线方程的化简与分类
一 方程的化简：
1 中心曲线方程的化简：
对中心曲线F（x,y）=0，令O′（
，
）为其中心，若将坐标原点平移至O′，则新方程中将不含一次项，再选取适当的θ角，作旋转变换，还可消去方程中的交叉乘积项，最终中心曲线的方程可化简为
（1）
由于
， ∴
全不为0，从而中心曲线（1）关于新系的x′，
y′轴对称，即以中心曲线的二主直径作为坐标轴建立新坐标系时，则曲线的方程便简化为（1）
例1：化简二次曲线方程x²-xy+y²+4x-2y=0
解：所给二次曲线的二主直径为x+y+2=0 ，x-y+2=0
取坐标变换公式 
即 
代入原方程有x′²+3y′²-8=0
即
2 无心曲线方程的化简：
对无心曲线F（x,y）=0，选取适当的θ角作旋转变换，可消去方程中的交叉乘积项，即
方程简化为
由于
∴
有且仅有一为0，不妨设
=0 ，再配方有
作平移
则方程最终简化为
（2）
由于 
∴
从而无心曲线（2）关于x″轴对称，即x″轴是其一主直径，且x″州与曲线的交点是新坐标系的坐标原点。
可见以无心曲线的主直径作为x′轴，以过顶点且与主直径垂直的直线作为y′轴建立新系，则曲线的方程便简化为（2）
例2：化简二次曲线方程x²+2xy+y²+2x-2y=0
解：所给曲线的一主直径为x+y=-0，曲线的顶点为原点，取过顶点且与主直径垂直的直线x-y=0，并取坐标变换，为
即
代入原方程并化简为 
3 线心曲线方程的化简：
对于线心曲线F（x,y）=0，取一中心
（
，
），并作平移变换即可消去方程中的一次项，再选取适当的α角作旋转变换，还可消去交叉乘积项，最终方程简化为
由于
∴
有且仅有一为0，不妨设
，则线心曲线方
程化简为
（3）
由于
，∴曲线（3）关于x′轴对称，可见新坐标系的x′轴是其主直径，即以曲线的一主直径作为x′轴建立新坐标系，则在新系下，曲线的方程将简化为（3）
例3：化简二次曲线方程 x²-2xy+y²+2x-2y=0
解：可以验证所给曲线是线心曲线，其主直径为x-y+1=0 再取一与主直径垂直的直线x+y=0，作坐标变换 
即
代入原方程并化简得 
总结上述化简二次曲线方程的方法，可得如下结论：
选取适当坐标系，可使
中心二次曲线的方程的化简为 
无心二次曲线的方程的化简为 
线心二次曲线的方程的化简为 
二 二次曲线的分类：
1°对于中心曲线，其方程可化简为（I）
当
，令
A=
，B=
，则（I）为 Ax²+By²=1
若A，B>0，令A=
，B=
，则（I）为
[1] 
——椭圆
若A，B<0，令A=-
，B=-
，则（I）为
[2] 
————虚椭圆
若A>0，B<0,令A=
，B=-
，则（I）为
[3] 
————双曲线
同理当A<0，B>0时，也是双曲线
当
时，令A=
，B=
，则（I）为
[4] 
———— 一点
同理，若A，B<0,则（I）也为一点
若A>0,B<0，令A=
，B=-
，则（I）为
[5] 
—————二相交直线
同理 若A<0，B>0,则（I）也为二相交直线。
2°对于无心曲线，其方程可化简为（II），令
P= 
，则（II）为
[6] y²=2Px ——————抛物线
对于线心曲线，其方程可化简为（III），令
k= 
，则（III）为 y²=k
若k>0，则（III）为
[7]y²=a² ————————二平行直线，
若k<0，则（III）为
[8]y²=-a² ————————二平行直线，
若k=0，则（III）为
[9]y²=0 ————————二重合直线。
