§1 复元素的引进，二次曲线与直线的交点
一 平面上的复元素
设在平面上建立了一个直角坐标系{O；i，j}，今将平面上点的概念扩充如下：任意一对有序复数（x,y）都是平面上一点p的坐标，若x,y全为实数，则称p为实点，否则称p为虚点，实点和虚点统称为复点。点的概念扩充以后，原来的实平面即变为复平面。
今在复平面上引入下列复元素：
（1）复矢量：以
（
,
）为始点，
（
,
）为终点的复矢量定义为：
=（
-
）i+（
-
）j，其中
-
，
-
称为它的分量，记作
{
-
，
-
}，分量不全为实数的矢量称为虚矢量，否则称为实矢量；若二矢量的对应分量成比例，则称这二矢量是平行的。
（2）复直线：在直角系下，一次方程
ax+by+c=0 （a,b为复数）
所表示的图形，称为复直线；若a，b，c与三实数对应成比例，则称其为实直线，否则称其为虚直线。 注意：实直线可以有虚点。
注：实直线上有无穷多个复点，但虚直线上只有一个实点。
（3）定此分点：
设有
（
，
），
（
，
），若点M（x,y）的坐标满点
x=
， y=
（λ≠-1）
则称M为线段
的定比分点，λ——定比，特别地，
的中点为（
）
（4）共轭复元素：
若
与
，
与
分别为共轭复数，则称P（
,
）与
（
，
）为一对共轭复点。显然实点与其自身共轭；二共轭复点连接线段的中点为实点。若二直线
：
x+
y+
=0，i=1，2满足
与
共轭，
与
共轭，
与
共轭，则称
与
是一对共轭复直线，若二矢量的对应分量为共轭复数，则称这二矢量为共轭复矢量。
注：在复平面上无法推广实平面上的距离公式，这是因为，在实平面上
d²=（
-
）²+（
-
）²
而在复平面上，上式右端为一复数，其平方根有两个地位均等的值，无法确定其中一个为二点间的距离。
二 二次曲线与与（实）直线的交点：
设有二次曲线 C：F（x,y）≡
x²+2
xy+
y²+2
x+2
y+
=0 及直线
l：
为研究l与c的交点情况，另需研究满足下述方程的t的取值情况
（
X²+2
XY+
Y²）t²+2{（
+
+
）X+（
+
+
）Y}
+F（
，
）=0
即Φ（X，Y）t²+2[
（
，
）X+
（
，
）Y]t+F（
，
）=0 （*）
（1）若Φ（X，Y）≠0
（*）的判别式
△=4{[
（
，
）X+
（
，
）Y]²-Φ（X，Y）F（
，
）}
当△>0时，l与C交于二不同实点；
当△<0时，l与C交于二不同虚点；
当△=0时，l与C交于二重合实点——相切
（ii ）若Φ（X，Y）=0
当
（
，
）X+
（
，
）Y≠0时，（*）有一实根，从而C与l仅交于一个实点（并非相切）
当
（
，
）X+
（
，
）Y=0，但F（
，
）≠0时，（*）为矛盾方程
∴C与l不交
当
（
，
）X+
（
，
）Y=F（
，
）=0时，（*）为恒等式
∴l在二次曲线C上——相切
