§8 平面束与平面把
一 平面束：
1定义：空间中过一定直线
的所有平面的集合称为有轴平面束，
称为这平面束的轴；空间中平行于一定平面的所有平面的集合称为平行平面束。
有轴、平行平面束统称为平面束。
2 方程：
定理1：对任一对确定的不全为0的实数λ，μ，方程
λ（
x+
y+
z+
）+μ（
x+
y+
z+
）=0 （1）
表示过二相交平面
：
x+
y+
z+
=0 ， i=1，2
的交线
的一个平面；反之，对过
的任一平面π，必存在不全为0的实数λ，μ，使π的方程为（1）
证明：先证（1）表示过
的平面。
（1）即为（λ
+μ
）x+（λ
+μ
）y+（λ
+μ
）z+λ
+μ
=0
我们断言：上式中x，y,z的系数不全为0，其实若不然，则有
-μ：λ=
：
=
：
=
：
这与
与
相交矛盾 ∴（1）表示一平面π，又显然π过
与
的交线l。
次证：对
过
的平面π，必存在不全为0的λ，μ，使π的方程为（1）
首先，若π≡
，取λ=1，μ=0，若π≡
，取λ=0，μ=1，
一般地，若π≠
，i=1，2 取π上一点A（α，β，γ）
l。
于是，（
α+
β+
γ+
）（
α+
β+
γ+
）=0
即 λ：μ=-（
α+
β+
γ+
）：（
α+
β+
γ+
）
不妨取 λ=-（
α+
β+
γ+
），μ=
α+
β+
γ+
则 （1）便表示过
的平面，又显示该平面过A，∴这平面就是π
例：求过二平面4x-y+3z-1=0与x+5y-z+2=0的交线，且过原点的平面的方程
解：略。
定理2：设在方程（1）中，
∥
，则对任意一对满足-μ：λ≠
：
的不全为0的实数λ，μ，（1）表示平行于
的一个平面π；反之，对任意平行于
的平面π，必存在满足-μ：λ≠
：
的不全为0的实数λ，μ，使π的方程为（1）
证明：先证，对任意一对满足-μ：λ≠
：
的不全为0的实数λ，μ（1）
表示平行于
的平面π。
由于-μ：λ≠
：
， ∴λ
+μ
≠0，从而
（1）表示一平面π，又
：
=
：
=
：
=k
则（λ
+μ
）：
=（λ
+μ
）：
=（λ
+μ
）：
=λk+μ
∴π∥
∥
再证：对任意平行于
的平面π，必存在不全为0的且满足
-μ：λ≠
：
的λ，μ，使π的方程为（1）
首先，若π≡
，取λ=1，μ=0；若π≡
，取λ=0，μ=1显然此时
-μ：λ≠
：
（
，
要么同时为0，要么同时非0）
一般地，若π≠
，i=1，2 取π上一点A（α，β，γ）
π，同定理1的证明类似。取λ，μ满足
λ：μ=-（
α+
β+
γ+
）：（
α+
β+
γ+
）
今验证 -μ：λ≠
：
其实，若不然，则
（
α+
β+
γ+
）：（
α+
β+
γ+
）=
：
即 
（
α+
β+
γ+
）-
（
α+
β+
γ+
）=0
（
-
）β+（
-
）γ+
-
=0
而
：
=
：
=
：
∴
：
=
：
∴
≡
这与已知不符， ∴-μ：μ≠
：
，即（1）表示一平行于
的平面，
又显然A（α，β，γ）在该平面上， ∴这平面正是π
定理3：设平面π：Ax+By+Cz+D=0，则π′∥π〈═〉π′的方程可表为
Ax+By+Cz+Dλ=0
事实上，"〈═"显然
"═〉"若π′∥π，且设π′：A′x+B′y+C′z+D′=0
则 A′：A=B′：B=C′：C=k
∴π′：kAx+kBy+kCz+D′=0
即 π′：Ax+By+Cz+
=0
例：求与平面3x+y-z+4=0平行，且在z轴的截距等于-2的平面的方程。
解：略。
二 平面地（平面汇）
1、定义：空间中过一定点
的所有平面的集合称为平面把，
——把心
2、方程：
定理1：对于任意不全为0的A，B，C，方程
A（x-
）+B（y-
）+C（z-
）=0 （2）
表示过
（
，
，
）的一个平面π，反之，对过
的任一平面π必存在不全为0的A，B，C，使其方程为 （2）
更一般地，我们有
定理2：对任意不全为0的λ，μ，ν，方程
λ（
x+
y+
z+
）+μ（
x+
y+
z+
）+ν（
x+
y+
z+
）
=0 （3）
表示过三平面 
：
x+
y+
z+
=0， i=1，2，3
（唯一）交点
（
，
，
）的一个平面π；反之，对任意过
的平面π，必存在不全为0的λ，μ，ν，使π的方程为（3）。
