第三章 平面与空间直线
本章教学目的：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，熟练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹角。
本章教学重点：（1）空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式；
（2）平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；
（3）平面与空间直线各种度量关系的量化公式。
本章教学难点：（1）空间直线一般方程向标准方程的转化；
（2）综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程。
本章教学内容：
§1 平面的方程
一 方程的建立：
约定：π——表示平面；
定义：与平面π平行的一对非共线矢量，称为π的方位矢量；与π垂直的非0矢量，称为π的法线矢量，简称法矢量。
1.已知π上一点
及其方位矢量
时：
建立坐标系
，设
=
=
对动点
,设
r= 
={x,y,z}，则M∈π
，a,b共面
r-r。，a，b共面
=ua+vb
+ua+vb ————π的矢量式参数方程 （1）
若令a={
，
，
}，b={
，
，
}，则
————π的坐标式参数方程 （2）
为得到π的普通方程，我们有
M∈π
，a，b共面
=0 ——————π的普通方程 （3）
（1）——（3）统称为π的点位式方程。
2。已知平面π上三非共线点
（i=1，2，3）：
建立坐标系{O；
,
,
}，设ri= 
={
，
，
}，i=1，2，3.对动点M，
令
r=
={x,y,z}，由（1），（2），（3）有 M∈π
r=
+u（
-
）+v（
-r1） （4）
（5）
=0 （6）
（4）——（6）统称为平面的三点式方程
特别地，若
是π与三坐标轴的交点，即
（a，0，0），
（0，b，0），
（0，0，c）， （abc≠0），则
M∈π
=0
即 
——————π的截距式方程 （7）
其中a,b,c称为π在三坐标轴上的截距。
3 已知平面π上一点
及其法矢量n：
建立直角坐标系{O；i，j，k}，设
= 
={x。，y。，z。}，n={A，B，C}，
(图3.1)
对动点M，令r=
={x,y,z}，则
M∈π
⊥n
A（x-x。）+B（y-y。）+C（z-z。）=0 （8）
————π的点法式方程或法线式方程
特别地，若M。是自O向π所作垂线的垂足，而
n：=
，且记 ∣
∣=
， r。= 
=
n
∴m∈π
n（r-r。）=0
nr-nr。=0〈═〉
cosαx+cosβy+cosγz-P=0 （9）
其中n={cosα，cosβ，cosγ}，该方程称为π的法式方程，它有如下特征：
1°一次项系数的平方和等于1；
2°常数项-P≦0。
二 平面的一般方程：
在空间坐标系下，对任一平面π，都可利用其上一点
及方位矢量a，b将其方程写成
Ax+By+Cz+D=0 （10）
其中A=
，B=
，C=
由于a{
，
，
}与b{
，
，
}不共线，∴（10）是一三元一次方程。
反之，
给一三元一次方程（10），不妨设A≠0，取三点
P。（-
）， 
（-
， 
（-
，
由于
={-
，
={-
∴
╫
，即
，
，
，不共线，从而它们确定的平面π的方程为
=0
展开即为（10） ∴我们有
定理（平面方程基本定理）：在空间坐标系下，任意平面的方程均可表为三元一次方程，而且任一三元一次方程也可表示空间中的一个平面。
称方程（10）为平面π的一般方程。
三 一般方程向法式方程的转化：
在直角坐标系下，若已知π的一般方程为Ax+By+Cz=0，则{A，B，C}是π的法矢量，
而法式方程（9）中的一次项系数是π的一特殊单位法矢量的分量。
∴若将一般方程化为法式方程只需在一般方程两边同乘以因子
λ= ±
有
λAx+λBy+λCz+λD=0
再据λD≦0选取λ的符号即可。
例：略。
