§4 空间曲线的方程

§4 空间曲线的方程

一 普通方程

1 定义:设L为空间曲线,为一三元方程组,空间中建立了坐标系之后,若L上任一点M(x,y,z)的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都在曲线L上,则称为曲线L的普通方程,又称一般方程,记作

L:

(图2.8)

注: 1°在空间坐标系下,任一曲线的方程定是两方程联立而成的方程组;

2°用方程组去表达曲线,其几何意义是将曲线看成了二曲面的交线（如图2.8）;

3°空间曲线的方程不唯一(但它们同解),如

与 均表示z轴

2 用曲线的射影柱面的方程来表达曲线

以曲线L为准线,母线平行于坐标轴的柱面称为L的射影柱面,若记L的三射影柱面的方程为 (x,y)=0, (y,z)=0, (z,x)=0,则

,,

便是L的用射影柱面表达的方程

若已知曲线L:,只需从L的方程中,分别消去x,y,z便三射影柱面

的方程(y,z)=0, (z,x)=0, (x,y)=0

 

例:设有曲线L: ,试求L的射影柱面,并用射影柱面方程表达

曲线.

解:从L的方程中分别消去x,y,z得到

z²-4y=4z,x²+z²=4z,x²+4z=0

它们即为L的射影柱面,而

(1), (2), (3)

便均是L的用射影柱面表达的方程

注:利用方程(2)即可作出L的草图

 

二 参数方程:

1.定义:设L为一空间曲线，r=r(t),t∈A为一元矢函数,在空间坐标系下，若对P∈L，

t∈A，使 =r（t），而且对t∈A，必有P∈L，使r（t）= ，则称r=r（t），

t∈A为曲线L的矢量式参数方程，记作L=r=r（t），t∈A，t ——参数

若点r（t）={x（t），y（t），z（t）}

则称 t∈A

为L的坐标式参数方程

注：空间曲线的参数方程中，仅有一个参数，而曲面的参数方程中，有两个参数，所以习惯上，称曲线是单参数的，而曲面是双参数的。

2.求法：

例：一质点，在半径=a的圆柱面上，一方面绕圆柱面的轴作匀速转动，一方面沿圆柱面的母线方向作匀速直线运动，求质点的运动轨迹。

解：以圆柱面的轴作为z轴，建立直角坐标系{O；i，j，k}，如图，不妨设质点的起始点在x轴上，质点的角速率与线速率分别为ω。，ν。，质点的轨迹为L，则对∈L，在x。y面上的投影为′，

(图2.9)

r= = + =acos i+asin j+k

若令，=b，则

r=acos i+asin j+b k

————L的矢量式参数方程

而

————L的坐标式参数方程，L称为圆柱螺线。