§8 两矢量的矢量积

§8 两矢量的矢量积

 

定义1 设矢量c是由两个矢量a与b按下列方式定出：c的模 |c|=|a||b|sin q , 其中q 为a与b间的夹角；c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定，我们把这样的矢量c叫做矢量a与b的矢量积, 记作a´b, 即

c=a´b.

从定义知矢量积有下列性质：

(1) a´a=0 

(2) 对于两个非零矢量a，b, 如果a´b=0, 则a//b；反之, 如果a//b, 则a´b = 0.

定理1 两矢量a与b共线的充要条件是a´b=0.

证 当a与b共线时，由于sin(a、b)=0，所以|a´b|=|a||b| sin(a、b)=0，从而a´b=0；反之，当a´b=0时，由定义知，a =0 ，或b =0，或a//b，因零矢可看成与任矢量都共线，所以总有a//b，即a与b共线.

定理2 矢量积满足下面的运算律:

(1) 交换律 a´b=-b´a，

(2) 分配律 (a+b)´c=a´c+b´c，

(3) 数因子的结合律 (la)´b=a´(lb)=l(a´b) (l为数).

证 （略）.

定理3 设a = a_x i + a_y j + a_z k, b = b_x i + b_y j + b_z k，则 a´b=(a_yb_z -a_zb_y)i+(a_zb_x -a_xb_z)j+（a_xb_y -a_yb_x）k.

证 由矢量积的运算律可得

a´b=(a_x i+a_y j+a_z k)´(b_x i+b_y j +b_z k)

=a_xb_x i´i+a_xb_y i´j +a_xb_z i´k

+a_yb_x j´i+a_yb_y j´j+a_yb_z j´k

+a_zb_x k´i+a_zb_y k´ +a_zb_z k´k.

由于 i´i=j´j=k´k=0, i´j=k, j´k=i, k´i=j,

所以 a´b=(a_yb_z -a_zb_y)i+(a_zb_x -a_xb_z)j+（a_xb_y -a_yb_x）k.

 

为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成

=a_yb_zi+a_zb_xj+a_xb_yk-a_yb_xk-a_xb_zj-a_zb_yi

=(a_y b_z -a_z b_y)i+(a_z b_x -a_x b_z)j+(a_x b_y -a_y b_x)k. .

例1 设a=(2, 1, -1), b=(1, -1, 2), 计算a´b .

解 2i-j-2k-k-4j-i =i-5j -3k.

例2 已知三角形ABC的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面积.

解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC的面积

.

由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此

=4i-6j+2k.

于是 .

 

例3 设刚体以等角速度w 绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.

解 刚体绕l 轴旋转时, 我们可以用在l 轴上的一个向量n表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l 轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是n的方向.

设点M到旋转轴l的距离为a , 再在l轴上任取一点O作向量r =, 并以q 表示n与r的夹角, 那么

a = |r| sinq .

设线速度为v, 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知, v的大小为

|v| =| n|a = |n||r| sinq 

v的方向垂直于通过M点与l轴的平面, 即v垂直于n与r, 又v的指向是使n、r、v符合右手规则. 因此有

v = n´r.