矩阵论基础 2.1 矩阵的基本概念

在求线性方程组时，其系数及它们各自的位置是非常重要的，在进行变化时，必须保持各方程的排列次序，因而我们常常将未知数的系数排成一个矩形的数表。

例如：线性方程组

将其系数按照方程组中原有的相应位置排成一个矩形数表如下：

，

我们称这样的矩形数表为矩阵。

定义1 由m´n个数a_ij(i=1, 2, × × × , m; j=1, 2, × × ×, n)排成的m行n列的矩形数表

称为m´n阶矩阵,一般情况下, 我们用大写字母A, B, C等表示矩阵，并记作

,

矩阵中的m´n个数称为矩阵的元素，所有元素及相应位置是个整体，所以，要加一个方括号表示它。

矩阵A中m个横的n元组[a₁₁，a₁₂，…， a_1n]，[a₂₁，a₂₂，…， a_2n]，…，[a_m1，a_m2，…， a_mn]称为矩阵的行；n个竖的m元组

称为矩阵的列。

a_ij称为矩阵的第i行第j列的元素. A中有m´n个元素，所以m´n矩阵A也可表示为A=(a_ij)_m´n 或记作A _m´n .例如

表示一个具有2行3列6个元素的矩阵

表示一个具有3行4列12个元素的矩阵

表示一个具有2行2列4个元素的矩阵

若矩阵A的行数与列数都等于n, 则称A为n阶矩阵, 或称为n阶方阵. n阶矩阵A也记作A_n .

n阶矩阵与n阶行列式从形式上看只有一点区别，前者是用括号把n的平方个数括起来，是一个数表，后者是用两条竖线把n的平方个数围起来，具有n!项的复杂的展开式，代入具体的元素数值，算出来是一个确定的数

只有一行的矩阵即m=1时，A=(a₁ a ₂ × × × a_n)称为n元行矩阵, 或称为n维行向量. 行矩阵也记作

A=(a₁, a ₂, × × × , a_n).

只有一列的矩阵

称为m元列矩阵, 或称为m维列向量.

矩阵中的元素都是实数时，称为实矩阵，矩阵中的所有元素均为0的矩阵称为零矩阵, 记为O.

两个矩阵的行数相等、列数也相等, 就称它们是同型矩阵. 如果A=(a_ij)与B=(b_ij)是同型矩阵, 并且 它们的对应元素相等, 即

a_ij=b_ij(i=1, 2, × × ×, m; j=1, 2, × × ×, n),

则称矩阵A与矩阵B 相等, 记作A=B.

如：若

则a=1,b=3,c=5,d=7。

注意：不同型的零矩阵是不相等的。

研究变量间的线性变换时，可将线性变换与矩阵对应起来。

设n个变量x₁, x₂, × × ×, x_n与m个变量y₁, y₂, × × ×, y_m之间的关系式

表示一个从变量x₁, x₂, × × ×, x_n到变量y₁, y₂, × × ×, y_m的线性变换, 其中a_ij为常数. 线性变换的系数a_ij构成矩阵A=(a_ij)_m´n,即

称为系数矩阵.

给定了线性变换, 它的系数所构成的矩阵也就确定了. 反之, 如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵, 则线性变换也就确定了. 在这个意上, 线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系.矩阵A可以反映线性变换的特点。

如果对应一个恒等变换

它对应的系数矩阵是一个n阶方阵

.

这种方阵的特点是：主对角线上的元素全部是1，其它元素都是0，我们称这样的矩阵为n阶单位矩阵, 简称单位阵. 通常记作E_n，反之，一个单位矩阵对应的线性变换一定是个恒等变换。

线性变换

对应的n阶方阵

.

这种方阵称为对角矩阵, 简称对角阵. 对角阵也记作

L=diag(l₁, l₂, × × ×, l_n).

如果将变量组看成一个m列矩阵，将将变量组看成一个n元列矩阵，由矩阵的乘法运算可将线性变换表示为Y=AX。

同样地，在研究线性方程组的求解问题中可将线性方程组

表示为Ax=b

，

A称为系数矩阵。

我们将在下一章讨论矩阵A的性质与线性方程组解的关

系。