04.算法
算法概念与特征
算法定义：解决问题的方法与步骤
设计算法的目的：给出解决问题的逻辑描述，根据算法描述进行实际编程
算法特征
有穷性：算法在每种情况下都可以在有限步后终止
确定性：算法步骤的顺序和内容没有二义性
输入：算法有零个或多个输入
输出：算法至少具有一个输出
有效性：所有操作都具有明确含义，并能在有限时间内完成
正确性：不是算法的特征，算法的正确性需要数学证明
算法描述
伪代码
混合自然语言与计算机语言、数学语言的算法描述方法
优点：方便，容易表达设计者思想，能够清楚描述算法流程，便于修改
缺点：不美观，复杂算法不容易理解
流程图（程序框图）
使用图形表示算法执行逻辑
优点：美观，算法表达清晰
缺点：绘制复杂，不易修改，占用过多篇幅
算法设计与实现
构造算法解决问题
按照自顶向下、逐步求精的方式进行
使用程序设计语言编程实现
典型示例
一、判断给定的某个自然数n（大于2）是否为素数。
算法逻辑
输入：大于2的正整数n
输出：该数是否为素数，若为素数返回true，否则返回false
step1.设除数i为2
step2.判断除数i是否已为n，若为真返回true，否则继续
step3.判断n%i是否为0，若为0返回false，否则继续
step4.将除数i递增，重复step2
bool IsPrime(unsigned int n)
{
unsigned int i = 2;
while(i < n)
{
if(n % i == 0)
{
return false;
i++;
}
}
return true;
}
实际上没有必要整除到n-1,而只需整除到√n，改进后
bool IsPrime(unsigned int n)
{
unsigned int i = 2;
while(i <= (unsigned int)sqrt(n))
{
if(n % i == 0)
return false;
i++;
}
return true;
}
注：Linux环境中g++编译使用<cmath>中函数时，应在g++命令后加-lm参数
再次改进后
bool IsPrime(unsigned int n)
{
unsigned int i = 3;
if(n % 2 == 0)
return false;
while(i <= (unsigned int)sqrt(n))
/*sqrt()方法的结果为浮点数，计算机内部存储浮点数有一定误差，若将11存为10.999...之类，在转为无符号整型时被截掉小数部分，变为10，导致结果出错。故需做如下改变*/
//while(i <= (unsigned int)sqrt(n) + 1)
{
if(n % i == 0)
return false;
i += 2;
}
return true;
}
实际上，以上算法还可以再做改进。因为sqrt(n)在算法中只起一个边界的作用，只需计算一次就够了，没有必要每次循环都计算一次。因此，可在算法开始处定义t = (unsigned int)sqrt(n) + 1；
二、求两个正整数x与y的最大公约数
穷举法
unsigned int gcd(unsigned int x, unsigned int y)
{
unsigned int t;
t = x < y ? x : y;
while(X % t != 0 || y % t != 0)
t--;
return t;
}
欧氏算法（辗转相除法）
step1.x整除以y，记余数为r
step2.若r为0，则最大公约数即为y，算法结束
step3.否则将y作为新x，将r作为新y，重复step1step2。
unsigned int gcd(unsigned int x, unsigned int y)
{
unsigned int r;
while(true)
{
r = x % y;
if(r == 0)
return y;
x = y;
y = r;
}
}
算法选择
算法选择的权衡指标
正确性：算法是否完全正确
效率：在某些场合，对程序效率的追求具有重要意义
可理解性：算法是否容易理解，也是必须考虑的
算法评估
衡量算法的好坏，主要是效率
递归算法
递归问题的引入
递推公式：数学上非常常见
例一：阶乘函数：1! = 1, n! = n * (n - 1)!
例二：斐波那契数列函数：f(1) = f(2) = 1, f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)
递推函数一定是分段函数，具有初始表达式
递推函数的计算逻辑：逐步简化问题规模
递推的工作步骤
递推过程：逐步分解问题，使其更简单
回归过程：根据简单情形组装最后的答案
例子的不同实现
一、阶乘问题
循环实现
unsigned int GetFactorial(unsigned int n)
{
unsigned int result = 1, i = 0;
while(++i <= n)
result *= i;
return result;
}
递归实现
unsigned int GetFactorial(unsigned int n)
{
unsigned int result;
if(n == 1)
result = 1;
else
result = n * GetFactorial(n - 1);
retrn result;
}
二、斐波那契数列函数
循环实现
unsigned int GetFibonacci(unsigned int n)
{
unsigned int i, f1, f2, f3;
if(n == 1 || n == 2)
return 1;
f1 = 1;
f2 = 1;
for(i = 3;i <= n;i++)
{
f3 = f2 + f1;
f1 = f2;
f2 = f3;
}
return f3;
}
递归实现
unsigned int GetFibonacci(unsigned int n)
{
if(n == 1 || n == 2)
return 1;
else
return GetFibonacci(n - 1) + GetFibonacci(n - 2);
}
循环与递归的比较
循环使用显式的循环结构重复执行代码段，递归使用重复的函数调用执行代码段
循环在满足其终止条件时终止执行，而递归则在问题简化到最简单情形时终止执行
循环的重复是在当前迭代结束时进行，而递归的重复则是在遇到对同名函数的调用时进行
循环和递归都可能隐藏程序错误，循环的条件测试可能永远为真，递归可能永远简化不到最简单情形
理论上，任何递归程序都可以使用循环迭代的方法解决
递归函数的代码更加短小精悍；递归程序更易理解
容错
容错的定义：允许错误的发生
错误的处理
很少见的特殊情况或普通错误：忽略该错误，不对程序运行结果产生影响
用户输入错误：通知用户错误性质，提醒用户更正输入。
致命错误：通知用户错误的性质，停止执行
典型容错手段
数据有效性检查
程序流程的提前终止
算法复杂度
引入算法复杂度的目的
度量算法的效率与性能
大O表达式
算法效率与性能的近似表示（定性描述）
算法执行时间与问题规模的关系
表示原则
忽略所有对变化趋势影响较小的项，例如多项式忽略高阶项之外的所有项
忽略所有与问题规模无关的常数，例如多项式的系数
标准算法复杂度类型
O(1)：常数级，表示算法执行时间与问题规模无关
O(log(n))：对数级，表示算法执行时间与问题规模的对数成正比
O(sqrt(n))：平方根级，表示算法执行时间与问题规模的平方根成正比
O(n)：线性级，表示算法执行时间与问题规模成正比
O(n*log(n))： n*log()级，表示算法执行时间与问题规模的n*log(n)成正比
O(n²)：平方级，表示算法执行时间与问题规模的平方成正比
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