第一题
假设有280g食盐，有一架天平，有两个砝码，分别是14g,4g.请问能否在3次内将280g食盐分为100g和180g两堆，请详细描述你的解决方法
解法一：
第一次：平分280g的食盐：140g、140g
目前重物：食盐：140g、140g，砝码：4g、14g
第二次：平分140g的食盐：70g、70g
目前重物：食盐：70g、70g、140g，砝码：4g、14g
我们再需要称出30g的食盐
如何根据上面的重物利用天平称出30g的食盐
称了两次两个砝码还都没有用，同时14-4=10，所有两个砝码分布放在天平的两侧
第三次：天平左侧：4g砝码 + 40g食盐，天平右侧：14g砝码+ 30g食盐
目前重物：食盐：30g、40g、70g、140g，砝码：4g、14g
食盐重量可组合成100g、180g
解法二：
第一次：4g砝码+280g食盐+天平，可以分成食盐：142g、138g
目前重物：食盐：138g、142g，砝码：4g、14g
第二次：14g砝码+142g食盐+天平，称出食盐14g
目前重物：食盐：14g、128g、138g，砝码：4g、14g
第三次：天平左侧：14g食盐+14g砝码 ，天平右侧：28g食盐
目前重物：食盐：14g、28g、100g、138g，砝码：4g、14g
食盐重量可组合成100g、180g
解法三：
第一次：用14克砝码得出14克盐。
目前重物：食盐：14g、266g
第二次:用14克砝码和4克砝码把266克盐分为128克盐和138克盐。
目前重物：食盐：14g、28g、138g、266g
第三次:14克砝码和14克盐从128克盐中得到28克盐，剩下100克盐。
得到180克和100克两堆食盐.
来源：http://group.cnblogs.com/topic/39235.html
1.1 去除法
(1) 用 4g 砝码，将 280g 盐分为 142g 和 138g ； ( 得盐： 138g ， 142g)
(2) 用 14g 砝码，从 142g 盐中称出 14g 盐，剩 128g 盐； ( 得盐： 14g ， 128g ， 138g)
(3) 用 14g 砝码和 14g 盐，从 128g 盐中称出 28g 盐； ( 得盐： 100g ， 14g ， 28g ， 138g)
或者，
(1) 用 4g 砝码，将 280g 盐分为 142g 和 138g ； ( 得盐： 138g ， 142g)
(2) 用 4g 和 14g 砝码，从 138g 盐中称出 10g 盐，剩 128g 盐； ( 得盐： 10g ， 128g ， 142g)
(3) 用 4g 、 14g 砝码和 10g 盐，从 128g 盐中称出 28g 盐； ( 得盐： 100g ， 10g ， 28g ， 142g)
或者，
(1) 用 14g 砝码称 出 14g 盐； ( 得盐： 14g ， 266g)
(2) 用 14g 砝码和 4g 砝码 ，将 266g 盐分为 128g 和 138g ； ( 得盐： 14g ， 128g ， 138g)
(3) 用 14g 砝码和 14g 盐，从 128g 盐中称出 28g 盐； ( 得盐： 100g ， 14g ， 28g ， 138g)
还有其他的去除方法，例如。
(1) 280=140+140
(2) 140-4-14=122 ( 去 18g 盐 )
(3) 122-4-18=100 (18g 盐当作砝码，去 22g 盐 )
实质上，这些方法大同小异。
1.2 分解法
(1) 用 4g 砝码，将 280g 盐分为 142g 和 138g ； ( 得盐： 138g ， 142g)
(2) 用 4g 和 14g 砝码，将 142g 盐分为 80g 和 62g ； ( 得盐： 62g ， 80g ， 138g)
(3) 用 4g 砝码，将 80g 盐分为 42g 和 38g ； ( 得盐： 38g ， 42g ， 62g ， 138g)
或者
(1) 将 280 克盐通过天平 等分为 140g 和 140g ； ( 得盐： 140g ， 140g)
(2) 将 140 克食盐再 等 分 为 70g 和 70g ； ( 得盐： 70g ， 70g ， 140g)
(3) 用 4g 和 14g 砝码，将 70g 盐分成 40g 和 30g ； ( 得盐： 30g ， 40g ， 70g ， 140g)
或者
(1) 280=138+142
(2) 138=62+76
(3) 62=24+38 ( 得盐： 24g, 38g ， 76g ， 142g)
本文其他部分将重点讨论从数学和计算机的角度分析分解方法的解及其过程。
1.3 累加法
(1) 用 4g 和 14g 砝码称 18g 盐； ( 得盐： 18g ， 262g)
(2) 用 4g 、 14g 砝码和 18g 盐称 36g 盐； ( 得盐： 18g ， 36g ， 226g)
(3) 用 14g 砝码和 36g 盐， 4g 砝码，称盐 46g ； ( 得盐： 18g ， 36g ， 46g ， 180g)
或者
(1) 用 4g 和 14g 砝码称 18g 盐； ( 得盐： 18g ， 262g)
(2) 用 14g 砝码和 18g 盐称 32g 盐； ( 得盐： 18g ， 32g ， 230g)
(3) 用 18g 盐和 32g 盐称 50g 盐； ( 得盐： 18g ， 32g ， 50g ， 180g)
来源：http://blog.csdn.net/livelylittlefish/article/details/6555347
第二题
如果天平两端都允许放砝码，并且假定所有的砝码都是整数克。为了称出从 1 克到 40 克 所有整数克 的物品，最少需要几个砝码？
最少需要 4 个砝码，规格分别为 1 克、3 克、9 克和 27 克。《三的幂》
具体讲解：http://www.guokr.com/article/3742/
http://www.docin.com/p-114694032.html
普通解法：
这实际上是找出4个自然数，将它们（全部，或一部分）进行加减运算后能够得出1～40的问题。
首先是第一个数。自然是1。1＝1。
其次是第二个数。必须保证得到答案2。可以是2或3。
选2，则：2-1＝1，2＝2，2+1＝3。
选3，则：3-1＝2，3＝3，3+1＝4。
选3能够得出更多的答案。选3以上的数，不能得出2。
其次是第三个数。以上已得到1～4，下一个数，必须保证得到答案5。可以是5～9。
选5，则：5-1＝1，5-3+1＝3，……，5+3+1＝9。
选9，则：9-3-1＝5，9-3＝6，……，9+3+1＝13。
选9能够得出更多的答案。选9以上的数，不能得出5。
最后是第四个数。必须保证得到答案14。可以是14～27。
选14，则：14-1＝13，14＝14，……，14+9+3+1＝27。
……
选27，则：27-9-3-1＝14，……，27+9+3+1＝40。
选27能够得出更多的答案。选27以上的数，不能得出14。
至此，已得出1～40，且所选的数为4个：1，3，9，27。
以上是小学生能够理解的。
来源：http://yuxiaonananshan.blog.163.com/blog/static/53377533201147103651823/
第三题
现在有三种不同重量的标准砝码1克、3克、9克。请问可以称出多少不同物品的重量？在进行称量时，要称的东西与已知的标准砝码可以任意地放在天平的两盘之一。另外，每种砝码都只有一只，而且不准复制。
根据上面的果壳的讲解，1 3 9 都是三的幂，能够称出1 到 1 + 3 + 9 = 13的重物的质量
第四题
现有质量分别为9克和13克的砝码若干只，在天平上要称出质量为3克的物体，最少要用几只这样的砝码．注意：是一次称量
根据题意要求的是：9x - 13y= 3 或者13x - 9y=3时候的最小的 x+y的值
9x - 13y= 3 ，尝试发现x=4 y=3时候是一个负解，对于13x - 9y=3就是一个正解x=3 y=4 x+y=7，这里已经是最小的了3个13g，4个9g砝码
这个讲解：
由于9克砝码的总质量和13克砝码的总质量的差必须等于3克，而9克砝码的总质量肯定是3的倍数，所以13克砝码的总质量也必须是3的倍数，那么13克砝码的个数至少有3个．那么9克砝码的总质量就至少是(13x3-3)/9=4个，一共是7个．
第五题
现有质量分别为5克和23克的砝码若干只，在天平上要称出质量为4克的物体，问至少要用多少只这样的砝码才能称出？并证明你的结论。只称一次
显然求解的是 5x-23y=4 或者是 5x-23y=-4，x，y都是正整数
分析等式：5x值得个位数一定是0或者5。0或者5减去一个数后是4或者-4，则这个数的个位数一定是：4、6、1、9中的一个
也就是说：23y的个位数是：4、6、1、9中的一个
3y的个位数是：4、6、1、9，时候，y的取值的个位数可以是：8、2、7、3，排序后是：2、3、7、8
对23y，y的取整可以是：2、3、7、8、12、13、17、18、22、23、27、28。。。
y=2,23y=46,5x-46=+-4
x取值是10
x=10，y=2是最小的组合值
这里为什么先考虑的是23，由于23y这个值得个位数比较复杂，而5x值得个位数不是0就是5
第六题
一架天平有1克,2克,4克,8克的砝码各一个,用这4个砝码在天平上能称出多少种不同重量的物体？
和第三题现在有三种不同重量的标准砝码1克、3克、9克。请问可以称出多少不同物品的重量？很类似
1;2;3=1+2;4;5=4+1;
6=4+2;7=4+2+1,8;9=8+1;10=8+2;
11=8+2+1;12=8+4;
13=8+4+1;14=8+4+2;15=8+4+2+1。
第七题
现在有质量分别为1g、2g、3g、4g、8g的砝码各一枚.用这些砝码在天平上共可称出多少种不同的质量?
最佳答案
1g--18g都可以称出来，也就是18种
1=1
2=2
3=3
4=4
5=1+4
6=2+4
7=3+7
8=8
9=1+8
10=2+8
11=3+8
12=4+8
13=1+4+8
14=2+4+8
15=3+4+8
16=1+3+4+8
17=2+3+4+8
18+1+2+3+4+8
第八题
如何制造个数最少的一些单位砝码，如1克，2克，3克，4克，......，使用这些单位砝码能够称出从1克到1000克之间的任何整数克重量的物体？
分析：1，3，9，27，81，243，729.
至少7个。
详解见上面的果壳网站
来源：http://yuxiaonananshan.blog.163.com/blog/static/53377533201147103651823/