• 算法导论:Trie字典树


    1、 概述

     Trie树,又称字典树,单词查找树或者前缀树,是一种用于快速检索的多叉树结构,如英文字母的字典树是一个26叉树,数字的字典树是一个10叉树。

     Trie一词来自retrieve,发音为/tri:/ “tree”,也有人读为/traɪ/ “try”。

     Trie树可以利用字符串的公共前缀来节约存储空间。如下图所示,该trie树用10个节点保存了6个字符串pool、prize、preview、prepare、produce、progress

    在该trie树中,字符串preview,prepare公共前缀是“pre”,因此可以只存储一份“pre”以节省空间。当然,如果系统中存在大量字符串且这些字符串基本没有公共前缀,则相应的trie树将非常消耗内存,这也是trie树的一个缺点。

    Trie树的基本性质可以归纳为:

    (1)根结点不包含字符,除根节点意外每个结点只包含一个字符。

    (2)从根结点到某一个结点,路径上经过的字符连接起来,为该结点对应的字符串。

    (3)每个结点的所有子结点包含的字符串不相同。

    注意:每个结点可以有没有或者一个或者多个字结点,叶子结点没有子结点

    2、数据结构表示

    /**
     * 定义字典树的数据结构
     * c 当前节点值
     * isLeaf 是否是叶子结点
     * children 孩子,key是孩子结点值,value是孩子结点的下一个字典树
     *
     */
    class TrieNode {
        char c;
        boolean isLeaf;
        HashMap<Character,TrieNode> children = new HashMap<Character,TrieNode>();
        public TrieNode(char c){
            this.c = c;
        }
        public TrieNode() {}
    }

    3、Trie字典树查找

    利用children HashMap,key是结点值,value是子结点

        /**
         * 查找 返回最后的字符
         * @param word
         * @return
         */
        public TrieNode searchNode(String word){
            HashMap<Character,TrieNode> children = root.children;
            TrieNode t = null;// 临时结点
            // 遍历字符串word的每个字符
            for(int i = 0;i<word.length();i++){
                char c = word.charAt(i);
                if(!children.containsKey(c)){
                    return null;
                }else{
                    t = children.get(c);
                    children = t.children;
                }
            }
    // 返回最后一个结点,若空word不存在,若非空,并且是叶子结点则存在
    return t; }

    对返回的t进行判断, 返回最后一个结点,若空word不存在,若非空,并且是叶子结点则存在

        /**
         * 查找是否存在 word字符
         * @param word
         * @return
         */
        public boolean search(String word){
            TrieNode t= searchNode(word);
            // t.c 是字符串word最后一个结点值
            return t!=null && t.isLeaf;
        }

    查找前缀字符

        /**
         * 查找前缀字符
         * @param prefix
         * @return
         */
        public boolean startsWith(String prefix) {
            return searchNode(prefix) != null;
        }

    4、Trie字典树的插入

        /**
         * 插入
         * @param word
         */
        public void insert(String word){
            HashMap<Character,TrieNode> childern = root.children;
            for(int i=0;i< word.length();i++){
                char c = word.charAt(i);
                TrieNode t = null;
                // 孩子结点中包括了 c 字符
                if(childern.containsKey(c)){
                    t = childern.get(c);// c字符所在结点的 子字典树,进入下一个字典树
                }else{
                    t = new TrieNode(c);// 不存在的时候新建结点
                    childern.put(c,t);// key value
                }
                childern = t.children;// 字典树的 孩子结点 
                if(i == word.length() - 1){ // 插入是叶子结点的时候 
                    t.isLeaf = true;
                }
            }
        }

    再说明下children

    root

    root.val 是结点值

    root.children 的Key 是 root结点的孩子结点

    root.children 的value 和 root.children中的Key一一对应,表示value的孩子结点 

    5、Trie字典树的删除

    这个时间复杂度比较多

    判断是否可以删除

    定义parent child两个结点

    当parent的孩子数量 > 1个 并且child的孩子有且只有一个的时候,将parent对于的这个孩子child删除

    这里利用上面的searchNode,从下向上对word的子串进行判断

    但是这里有个问题,举个例子好说:我们需要删除“pool”,但是“poo”在字典树也是合法的字符,我这样的程序也将“poo”进行了删除,如果定义一个计数器,比较好,当计数器为0的时候进行删除

        /**
         * 删除
         * 删除的是word这个字符串,首先要找到word和其他字符串的公共前缀,从最后一个公共前缀开始删除,结点
         * 值为 null
         * @param word
         */
        public void delete(String word){
            boolean flag = search(word);
            if(flag==false){
                System.out.println("不存在该字符串:"+word);
                return;
            }
            HashMap<Character,TrieNode> childern = root.children;
            TrieNode child = null;// 定义子结点
            for(int i=word.length();i>=1 ;i--){
                String subWord = word.substring(0,i);
                TrieNode parent  = searchNode(subWord);
                if(child!=null && 
                        parent.children.size() !=1 && 
                        child.children.size()==1){
    //                删除孩子结点 
                    parent.children.remove(child.c);
                    System.out.println("删除成功:"+word);
                    return;
                }else{
                    child = parent;
                }
            }
        }

    6、字典树的层次输出

    利用二叉树层次遍历的思想

    定义ArrayList或者队列,每次讲该层结点放到队列中,并删除父结点

        public  void printTrie(){
            HashMap<Character,TrieNode> children = null;
            int size = 0;
            ArrayList<TrieNode> tree = new ArrayList<TrieNode>();
            tree.add(root);
            while(tree.size()!=0){
                size = tree.size();
                
                for(int i =0;i<size;i++){
                    children = tree.get(0).children;
                    
                    tree.remove(0);
                    // 把children中 value的值都放入到 tree中
                    if(children == null)
                        break;
                    for(TrieNode tN:children.values()){
                        tree.add(tN);
                        System.out.print(tN.c +"	");
                    }
                    System.out.print("\");
                }
                System.out.println();
                
            }
            
        }
    
    }

    上面程序对该层的元素进行了输出,

    以“” 为分割部分的字符表示其父结点在:左上最近的结点

    但是当某层出现单个字符的时候不能够很好的表示

    同时,输出的时候发现每一层的最后一个结点是空,表示不理解

    上面例子输出结果:

    p    
    r    o    
    e    o    i    o    
    v    p    g    d    z    l    
    i    a    
        u    e    \
    e    
        e    c    \
    w    e    s    e    
    \s    \
    

    最后s字符判断父结点出错,因为结点左侧过多的空的时候,只输出一个“”,但是为什么输出一个“”,我不理解,不知道哪里处理错误

    全部程序

    package twotree;
    
    import java.util.ArrayList;
    import java.util.HashMap;
    /**
     * 定义字典树的数据结构
     * c 当前节点值
     * isLeaf 是否是叶子结点
     * children 孩子,key是孩子结点值,value是孩子结点的下一个字典树
     *
     */
    class TrieNode {
        char c;
        boolean isLeaf;
        HashMap<Character,TrieNode> children = new HashMap<Character,TrieNode>();
        public TrieNode(char c){
            this.c = c;
        }
        public TrieNode() {}
    }
    class Trie{
        private TrieNode root = null;
        public Trie(){
            root = new TrieNode();
        }
        /**
         * 删除
         * 删除的是word这个字符串,首先要找到word和其他字符串的公共前缀,从最后一个公共前缀开始删除,结点
         * 值为 null
         * @param word
         */
        public void delete(String word){
            boolean flag = search(word);
            if(flag==false){
                System.out.println("不存在该字符串:"+word);
                return;
            }
            HashMap<Character,TrieNode> childern = root.children;
            TrieNode child = null;// 定义子结点
            for(int i=word.length();i>=1 ;i--){
                String subWord = word.substring(0,i);
                TrieNode parent  = searchNode(subWord);
                if(child!=null && 
                        parent.children.size() !=1 && 
                        child.children.size()==1){
    //                删除孩子结点 
                    parent.children.remove(child.c);
                    System.out.println("删除成功:"+word);
                    return;
                }else{
                    child = parent;
                }
            }
        }
        /**
         * 插入
         * @param word
         */
        public void insert(String word){
            HashMap<Character,TrieNode> childern = root.children;
            for(int i=0;i< word.length();i++){
                char c = word.charAt(i);
                TrieNode t = null;
                // 孩子结点中包括了 c 字符
                if(childern.containsKey(c)){
                    t = childern.get(c);// c字符所在结点的 子字典树
                }else{
                    t = new TrieNode(c);// 不存在的时候新建结点
                    childern.put(c,t);// key value
                }
                childern = t.children;// 字典树的 孩子结点 
                if(i == word.length() - 1){ // 插入是叶子结点的时候 
                    t.isLeaf = true;
                }
            }
        }
        /**
         * 查找 返回最后的字符
         * @param word
         * @return
         */
        public TrieNode searchNode(String word){
            HashMap<Character,TrieNode> children = root.children;
            TrieNode t = null;// 临时结点
            // 遍历字符串word的每个字符
            for(int i = 0;i<word.length();i++){
                char c = word.charAt(i);
                if(!children.containsKey(c)){
                    return null;
                }else{
                    t = children.get(c);
                    children = t.children;
                }
            }
            // 返回最后一个结点,若空word不存在,若非空,并且是叶子结点则存在
            return t;
        }
        /**
         * 查找是否存在 word字符
         * @param word
         * @return
         */
        public boolean search(String word){
            TrieNode t= searchNode(word);
            // t.c 是字符串word最后一个结点值
            return t!=null && t.isLeaf;
        }
        /**
         * 查找前缀字符
         * @param prefix
         * @return
         */
        public boolean startsWith(String prefix) {
            return searchNode(prefix) != null;
        }
        public  void printTrie(){
            HashMap<Character,TrieNode> children = null;
            int size = 0;
            ArrayList<TrieNode> tree = new ArrayList<TrieNode>();
            tree.add(root);
            while(tree.size()!=0){
                size = tree.size();
                
                for(int i =0;i<size;i++){
                    children = tree.get(0).children;
                    
                    tree.remove(0);
                    // 把children中 value的值都放入到 tree中
                    if(children == null)
                        break;
                    for(TrieNode tN:children.values()){
                        tree.add(tN);
                        System.out.print(tN.c +"	");
                    }
                    System.out.print("\");
                }
                System.out.println();
                
            }
            
        }
    
    }
    public class TrieTest {
    
        public static void main(String[] args){
            Trie trie = new Trie();
            // pool、prize、preview、prepare、produce、progress
            System.out.println("	 insert");
            trie.insert("pool");
            trie.insert("prize");
            trie.insert("preview");
            trie.insert("prepare");
            trie.insert("produce");
            //trie.insert("produces");
            trie.insert("progress");
            System.out.println("	 printTrie");
            trie.printTrie();
            System.out.println("	 search");
            System.out.println(trie.search("pool"));
    
            System.out.println(trie.search("produce"));
            
            System.out.println(trie.search("pop"));
            System.out.println("	 searchNode");
            System.out.println(trie.searchNode("pop") == null);
            System.out.println(trie.searchNode("pop"));
            
            System.out.println(trie.searchNode("produce") == null);
            System.out.println(trie.searchNode("produce").c);
            
            System.out.println("	 startsWith");
            System.out.println(trie.startsWith("pre"));
            System.out.println(trie.startsWith("hello"));
            System.out.println(trie.startsWith("pop"));
            
            System.out.println("	 delete");
            trie.delete("pool");
            
            System.out.println("	 printTrie");
            trie.printTrie();
            
            trie.delete("produce");
            
            System.out.println("	 printTrie");
            trie.printTrie();
        }
    }
    View Code

    输出结果

         insert
         printTrie
    p    
    r    o    
    e    o    i    o    
    v    p    g    d    z    l    
    i    a    
        u    e    \
    e    
        e    c    \
    w    e    s    e    
    \s    \
    
         search
    true
    true
    false
         searchNode
    true
    null
    false
    e
         startsWith
    true
    false
    false
         delete
    删除成功:pool
         printTrie
    p    
    r    
    e    o    i    
    v    p    g    d    z    
    i    a    
        u    e    
    e    
        e    c    \
    w    e    s    e    
    \s    \
    
    删除成功:produce
         printTrie
    p    
    r    
    e    o    i    
    v    p    g    z    
    i    a    
        e    
    e    
        e    \
    w    e    s    
    \s    
    
    View Code

    7、 Trie树的应用

    Trie是一种非常简单高效的数据结构,但有大量的应用实例。

    (1) 字符串检索

    事先将已知的一些字符串(字典)的有关信息保存到trie树里,查找另外一些未知字符串是否出现过或者出现频率。

    举例:

    @  给出N 个单词组成的熟词表,以及一篇全用小写英文书写的文章,请你按最早出现的顺序写出所有不在熟词表中的生词。

    @  给出一个词典,其中的单词为不良单词。单词均为小写字母。再给出一段文本,文本的每一行也由小写字母构成。判断文本中是否含有任何不良单词。例如,若rob是不良单词,那么文本problem含有不良单词。

    (2)字符串最长公共前缀

    Trie树利用多个字符串的公共前缀来节省存储空间,反之,当我们把大量字符串存储到一棵trie树上时,我们可以快速得到某些字符串的公共前缀。

    举例:

    @ 给出N 个小写英文字母串,以及Q 个询问,即询问某两个串的最长公共前缀的长度是多少?

    解决方案:首先对所有的串建立其对应的字母树。此时发现,对于两个串的最长公共前缀的长度即它们所在结点的公共祖先个数,于是,问题就转化为了离线(Offline)的最近公共祖先(Least Common Ancestor,简称LCA)问题。

    而最近公共祖先问题同样是一个经典问题,可以用下面几种方法:

    1. 利用并查集(Disjoint Set),可以采用采用经典的Tarjan 算法;

    2. 求出字母树的欧拉序列(Euler Sequence )后,就可以转为经典的最小值查询(Range Minimum Query,简称RMQ)问题了;

    (3)排序

    Trie树是一棵多叉树,只要先序遍历整棵树,输出相应的字符串便是按字典序排序的结果。

    举例:

    @ 给你N 个互不相同的仅由一个单词构成的英文名,让你将它们按字典序从小到大排序输出。

    (4) 作为其他数据结构和算法的辅助结构

    如后缀树,AC自动机等

    8、 Trie树复杂度分析

    (1) 插入、查找的时间复杂度均为O(N),其中N为字符串长度。

    (2) 空间复杂度是26^n级别的,非常庞大(可采用双数组实现改善)。

    9、 总结

    Trie树是一种非常重要的数据结构,它在信息检索,字符串匹配等领域有广泛的应用,同时,它也是很多算法和复杂数据结构的基础,如后缀树,AC自动机等。

    参考1:http://dongxicheng.org/structure/trietree/

    参考2:http://linux.thai.net/~thep/datrie/datrie.html#Ref_Fredkin1960

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