转载自：http://blog.csdn.net/linuxcumt/article/details/8572746
1.假设随Tumor Size变化，预测病人的肿瘤是恶性（malignant）还是良性（benign）的情况。
给出8个数据如下：
2.假设进行linear regression得到的hypothesis线性方程如上图中粉线所示，则可以确定一个threshold:0.5进行predict
y=1, if h(x)>=0.5
y=0, if h(x)<0.5
即malignant=0.5的点投影下来，其右边的点预测y=1;左边预测y=0；则能够很好地进行分类。
那么，如果数据集是这样的呢？
这种情况下，假设linear regression预测为蓝线，那么由0.5的boundary得到的线性方程中，不能很好地进行分类（5，6个点均不能满足）。因为不满足
y=1, h(x)>0.5
y=0, h(x)<=0.5
============Hypothesis Representation==================
1.logistic regression model
注意：
========================Decision Boundary =================================
1.logistic regression model的深入解释
2.所谓Decision Boundary就是能够将所有数据点进行很好地分类的h(x)边界。
如下图所示，假设形如h(x)=g(θ0+θ1x1+θ2x2)的hypothesis参数θ=[-3,1,1]T, 则有
predict Y=1, if -3+x1+x2>=0
predict Y=0, if -3+x1+x2<0
刚好能够将图中所示数据集进行很好地分类
3.小问题，注意，所有逻辑回归都这么处理。参见（1.logistic regression model的深入解释）
4.除了线性boundary还有非线性decision boundaries，比如
。训练集的作用
就是找这些参数θ。但这个曲线该怎么找？？由此可见，logistic regression 的
boundary可以是任意的曲线。而所谓的线性可分、不可分实则指的就是
boundary是否为线性或非线性（参数），而不是logistic函数自身。下图中，
进行分类的decision boundary就是一个半径为1的圆，如图所示：
======================Cost Function=====================
1.问题提出，如何求参数θ？但这个曲线该怎么找？？
2.对于logistic regression其COST函数不能像线性回归的最小二乘那样
选择。因为其 logistic是非线性函数。非要这样取的话，COST函数是非凸
函数，见下图。无法用梯度下降求极值。
3.logistic regression其COST函数的定义。在给定了h(θ,x),y后，其COST函数
值即可确定。注意：h(θ,x)为logistic曲线，其取值范围在0-1之间。
4.当h(θ,x)接近1，而y=1,表明分类正确，故不“惩罚”，COST=0;
反之，h(θ,x)接近0，而y=1，,表明分类错误，故大大“惩罚”，COST=无限大;
同理对y=0
5.小题目
===========Simplified Cost Function and Gradient Descent==============
1.求出最小J(θ)时的θ,然后计算h(θ,x)，若其>=0.5（或θTx>=0),则y=1;否则y=0.
参考logistic regression model
2.不管h(x)的表达式是线性的还是logistic regression model, 都能得到如下的参数更新过程。
写的详细些：
3.归一化（Feature scaling)同样会使得logistic regression 跑的更快。
=============Advanced Optimization ==================
1.除了gradient descent 方法之外，我们还有很多方法可以使用，如下图所示，
左边是另外三种方法，右边是这三种方法共同的优缺点，无需选择学习率α，更快，
但是更复杂。
2.代码小例
3.实际matlab中已经帮我们实现好了一些优化参数θ的方法，那么这里我们需要完成的事情
只是写好cost function,并告诉系统，要用哪个方法进行最优化参数。比如我们用‘GradObj’
， Use the GradObj option to specify that FUN also returns a second output argument
G that is the partial derivatives of the function df/dX, at the point X.
函数costFunction, 定义jVal=J(θ)和对两个θ的gradient：
- function [ jVal,gradient ] = costFunction( theta )
- %COSTFUNCTION Summary of this function goes here
- % Detailed explanation goes here
- jVal= (theta(1)-5)^2+(theta(2)-5)^2;
- gradient = zeros(2,1);
- %code to compute derivative to theta
- gradient(1) = 2 * (theta(1)-5);
- gradient(2) = 2 * (theta(2)-5);
- end
编写函数Gradient_descent，进行参数优化
- function [optTheta,functionVal,exitFlag]=Gradient_descent( )
- %GRADIENT_DESCENT Summary of this function goes here
- % Detailed explanation goes here
- options = optimset('GradObj','on','MaxIter',100);
- initialTheta = zeros(2,1)
- [optTheta,functionVal,exitFlag] = fminunc(@costFunction,initialTheta,options);
- end
matlab主窗口中调用，得到优化厚的参数(θ1,θ2)=(5,5),即hθ(x)=θ1x1+θ2x2=5*x1+5*x2
- [optTheta,functionVal,exitFlag] = Gradient_descent()
- initialTheta =
- 0
- 0
- Local minimum found.
- Optimization completed because the size of the gradient is less than
- the default value of the function tolerance.
- <stopping criteria details>
- optTheta =
- 5
- 5
- functionVal =
- 0
- exitFlag =
- 1
最后得到的结果显示出优化参数optTheta=[5,5], functionVal = costFunction(迭代后) = 0
===========Multiclass Classification: One-vs-all =================
1.所谓one-vs-all method就是将binary分类的方法应用到多类分类中。
比如我想分成K类，那么就将其中一类作为positive，另（k-1）合起来作为negative，
这样进行K个h(θ)的参数优化，每次得到的一个hθ(x)是指给定θ和x，它属于positive的
类的概率。按照上面这种方法，给定一个输入向量x，获得最大hθ(x)的类就是
x所分到的类。
