XDOJ 1201: Dogs of Qwordance Senior Backend R&D Engineers

XDOJ 1201: Dogs of Qwordance Senior Backend R&D Engineers

题目链接：http://acm.xidian.edu.cn/problem.php?id=1201

题目大意：已知长宽均为整数的矩形面积为$n$，现要在该矩形上划上水平和垂直间隔为相同整数的网格，问有多少种方案.

组合数学+线性筛

若将数$x$按素因数分解，可以得到$x=prod_{i=0}^kp_i^{c_i}$，从而有$ au(x)=prod_{i=0}^k(c_i+1)$，其中$ au(x)$为$x$的因子数.

由题意得到，方案数为$sum_{d|n} au(d) imes au(n/d)=prod_{i=0}^k(sum_{j=0}^{c_i}(j+1)(c_i-j+1))$.

注意素因数分解时，需要预处理$sqrt{n}$内的素数，使原本$O(sqrt{n})$的分解复杂度降为$O(pi(sqrt{n}))$，即$O(frac{sqrt{n}}{lnn})$.

总复杂度为$O(n+T(frac{sqrt{n}}{lnn}+lg^2n))$

代码如下：

#include <cstdio>
#define N 1000005
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,p[N],k,ans,a[N],d;
bool v[N];
void prime(){
    v[1]=1;
    for(ll i=2;i<N;++i){
        if(!v[i])p[k++]=i;
        for(ll j=0;j<k&&p[j]*i<N;++j){
            v[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
}
int main(void){
    prime();
    while(~scanf("%lld",&n)){
        ans=1;d=0;
        for(int i=0;p[i]*p[i]<=n;++i)if(n%p[i]==0){
            ll tot=0;
            while(n%p[i]==0){
                tot++;
                n/=p[i];
            }
            a[d++]=tot;
        }if(n!=1)ans*=4;
        for(ll i=0;i<d;++i){
            ll t=0;
            for(ll j=0;j<=a[i];++j)
                t+=(j+1)*(a[i]-j+1);
            ans*=t;
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
}