算法作业6 动态规划

问题描述：Given 2 sequences, X = x1,...,xm and Y = y1,...,yn, find a common subsequence whose length is maximum. Subsequence need not be consecutive, but must be in order.

程序思路：

使用递归的思路可以解决这个问题。设输入的两个子串为X[0…m - 1]和Y[0…n - 1]，L(X[0…m - 1], Y[0…n - 1])为X和Y的最长公共子串长度。分两种情况：

1. 若子串最后一个字符匹配（即X[m – 1] == Y[n – 1]），则

L(X[0…m - 1], Y[0…n - 1])= 1 + L(X[0…m - 2], Y[0…n - 2])

2. 若子串最后一个字符不匹配（即X[m – 1] ！= Y[n – 1]），则

L(X[0…m - 1], Y[0…n - 1]) = Max( L(X[0…m - 2], Y[0…n - 1]), L(X[0…m - 1], Y[0…n - 2]))

但是递归的情况下，很多子情况会重复计算多次，因此可以使用动态规划来优化，这里可以使用画表格的方法来记录下子问题的解，供后面计算使用。这里的表格记录最长公共子串的长度。

例如：”ABCFGR” 和”ACKWGR”的最长公共子串表为

右下角的值就是两个子串的最长公共子串长度。

如果需要输出两个子串的最长公共子串，则需要额外的空间把每个字符存起来。步骤如下：

1. 构造最长公共子串长度表L[][]；
2. 构造一个长为L[m][n]的string s；
3. 从L[m][n]这个位置开始遍历L[][]，直到m或者n为0，对于L[][]中的每个元素L[i][j]，

a)    若X[i - 1] == Y[j - 1]，即这个字符是最长公共子串的一个字符，放在s的末尾，往左上方移动一格，即i – 1，j – 1，继续遍历。

b)    若不等，则在表格左边或者上方选择一个较大值，移动一格，即i – 1或者j – 1，继续遍历。

根据上面的例子，给出遍历路径：

所以”ABCFGR” 和”ACKWGR”的最长公共子串为”ACGR”。

算法伪代码：

//LCS算法
//输入：子串X，子串Y，X的长度m，Y的长度n
//输出：最长公共子串
LCS(X[], Y[], m, n)
Begin
Create L[m + 1][n + 1]
for each i from 0 to m do
       for each j from 0 to n do
              if i == 0 or j == 0
                     L[i][j] = 0
              Else if X[i – 1] == Y[j – 1]
                     L[i][j] = L[i – 1][j – 1] + 1
              Else
                     L[i][j] = max(L[i – 1][j], L[i][j – 1])
Create char c[L[m][n]]
For L[m][n] to L[0][p] or L[q][0]
       If X[i - 1] == Y[j – 1]
              Push this char to c
              Skip to left up
       Else
              Skip to left or up which is larger
End

算法性能分析：

这个算法主要做的事情是，建立最长公共子串表，然后遍历这个表。表的建立需要一个一个填写表项，因此复杂度为O(mn)。

补充一下，之前一直没有考虑最长公共子串不唯一的问题。我们的算法的确能够找到一个最长公共子串，但是如果要把所有的串输出，在步骤二中必须分情况讨论，把中间结果压栈，具体细节有空再补充。