Binary Search基础
应用于已排序的数据查找其中特定值，是折半查找最常的应用场景。相比线性查找(Linear Search)，其时间复杂度减少到O(lgn)。算法基本框架如下：
//704. Binary Search
int search(vector<int>& nums, int target) { //nums为已排序数组 int i=0,j=nums.size()-1; while(i<=j){ int mid=(i+j)/2; if(nums[mid]==target) return mid; else if(nums[mid]>target) j=mid-1; else i=mid+1; } return -1; }
以上查找范围的上下限 i 和 j 代表索引，算法过程可视化：Binary Search，STL中有序区间函数upper_bound/lower_bound内用的查找方法即是折半查找。
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按值范围折半查找
折半查找还可以应用于非有序区间查找满足特定条件的值。该场景下所找的值在已知范围内，这时折半的不是索引，而是值本身所在的范围。算法基本框架如下：
//287. Find the Duplicate Number
int findDuplicate(vector<int>& nums) { int n=nums.size(); int i=1,j=n-1; //[i,j]表示值的区间 while(i<=j){ int mid=(i+j)/2,count=0; for(auto k:nums) if(k<=mid) ++count; //根据计数折半缩小区间if(count<=mid) i=mid+1; else j=mid-1; } return i; //最终返回值本身 }
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折半查找求递增序列
求递增序列(LIS, longest increasing subsequence)是一道经典的算法题目，用折半查找对其进行求解的方法十分巧妙，求解代码如下：
//300. Longest Increasing Subsequence
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { int size=0; vector<int> tail(nums.size()); //候选递增序列集for(auto num:nums){ int i=0,j=size; while(i<j){ int mid=(i+j)/2; if(tail[mid]<num) i=mid+1; else j=mid; } tail[i]=num; if(i==size) size++; } return size; }
以上设定LIS候选序列集 tail，对无序区间 nums 中的各个值通过折半查找的方法，找到其落在 tail 的位置，最终最长的序列长度即为所求。详细算法过程说明见 这里 这里