高级排序算法之归并排序

算法分析

归并排序算法的时间复杂度能达到nlog(n)。

归并排序算法的基本思想：归并排序算法是把数据逐次分割成每块，对每块进行排序后，然后再进行合并成为一个排好序的数据。

第一步：数据平均分割

第二步：再次对数据进行平均分割，直到数据无法再分割，也就是每份数据只有一个了，然后再对每份数据进行合并，依次向上进行合并每份有序的数据。

根据以上算法的基本思想，相信大家也想到了，归并排序使用递归实现起来相对更加简单。以上所说的归并排序为自顶向下的归并排序算法，还有一种自底向上的归并排序算法实现下边再说。

自顶向下归并排序

以下是自顶向下的归并排序算法的实现示例：

template<typename T>
void __merge(T arr[], int l, int mid, int r)
{
    //int aux[r - l + 1];  //数据量达到千万时，申请数组程序崩溃
    int *aux = new int[r-l+1];

    for(int i = l; i <= r; i++)
        aux[i - l] = arr[i];

    int i = l, j = mid +1;
    for(int k= l; k <= r; k++)
    {
        if(i > mid)
        {
            arr[k] = aux[j-l]; j++;
        }
        else if(j > r)
        {
            arr[k] = aux[i-l]; i++;
        }
        else if(aux[i-l] < aux[j-l])
        {
            arr[k] = aux[i-l]; i++;
        }
        else{
            arr[k] = aux[j-l]; j++;
        }
    }	
    delete []aux;
}

template<typename T>
void __mergeSort(T arr[], int l, int r)
{
    if(r - l <= 15)     //优化点2：对小数据量使用插入排序
    {
        insertionSort(arr, l, r);
        return ;
    } 

    int mid = (l + r)/2;

    __mergeSort(arr, l, mid);
    __mergeSort(arr, mid + 1, r);
    
    if(arr[mid] > arr[mid+1])     //优化点1：对于arr[mid] <= arr[mid+1]的情况不需要进行merge
        __merge(arr, l, mid, r);
}

//此为自顶向下的归并排序算法
template<typename T>
void mergeSort(T arr[], int n)
{
    __mergeSort(arr, 0, n - 1);
}

　　

自底向上归并排序

自底向上的归并排序算法与自顶向下的归并排序正好相反，先指定一个步长，把数据按步长分割，每份数据使用插入排序算法(插入排序对小数据量性能好，插入排序参考博文)

示例代码：

template<typename T>
void insertionSort(T arr[], int l, int r)
{
	for(int i = l+1; i <= r; i++)
	{
		T tmp = arr[i];
		int j;
		for(j = i; j > l && arr[j - 1] > tmp; j --)
			arr[j] = arr[j - 1];

		arr[j] = tmp;
	}
}

//此为自底向上的归并排序算法
template<typename T>
void mergeSortBU(T arr[], int n)
{
    for(int i = 0; i < n; i += 16)
        insertionSort(arr, i, min(i+15, n-1));

    for(int sz = 16; sz < n; sz += sz)
        for(int i = 0; i < n - sz; i += sz+sz)
            if(arr[i+sz-1] > arr[i+sz])
                __merge(arr, i, i+sz-1, min(i+sz+sz-1, n-1));
}　　

总结

归并排序算法的时间复杂度为nlog(n)，相对与时间复杂度为O(n^2)的选择排序、插入排序、冒泡排序等基础排序算法更好，但在小数据量或者几乎有序的数据中，时间复杂度为O(n^2)的插入排序与nlog(n)的归并排序相差无几。