一步步教你轻松学奇异值分解SVD降维算法

一步步教你轻松学奇异值分解SVD降维算法

(白宁超 2018年10月24日09:04:56 )

摘要：奇异值分解（singular value decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，在生物信息学、信号处理、金融学、统计学等领域有重要应用，SVD都是提取信息的强度工具。在机器学习领域，很多应用与奇异值都有关系，比如推荐系统、数据压缩（以图像压缩为代表）、搜索引擎语义层次检索的LSI等等。（本文原创，转载必须注明出处.）

目录

1 机器学习：一步步教你轻松学KNN模型算法

2 机器学习：一步步教你轻松学决策树算法

3 机器学习：一步步教你轻松学朴素贝叶斯模型算法理论篇1 

4 机器学习：一步步教你轻松学朴素贝叶斯模型实现篇2 

5 机器学习：一步步教你轻松学朴素贝叶斯模型算法Sklearn深度篇3

6 机器学习：一步步教你轻松学逻辑回归模型算法

7 机器学习：一步步教你轻松学K-means聚类算法

8 机器学习：一步步教你轻松学关联规则Apriori算法

9 机器学习： 一步步教你轻松学支持向量机SVM算法之理论篇1

10 机器学习： 一步步教你轻松学支持向量机SVM算法之案例篇2

11 机器学习： 一步步教你轻松学主成分分析PCA降维算法

12 机器学习： 一步步教你轻松学支持向量机SVM降维算法

更多文章请点击这里>>

奇异值分解原理

什么是奇异值分解(SVD）

奇异值分解

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

$$ M_{m×n}=U_{m×m} Sigma_{m×n} V^T_{n×n} $$

其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶非负实数对角矩阵；而(V^T)，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素(Σ_i),i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。（虽然U和V仍然不能确定。）

• V的列组成一套对(M)的正交"输入"或"分析"的基向量。这些向量是(M^*M)的特征向量。
• U的列组成一套对(M)的正交"输出"的基向量。这些向量是(MM^*)的特征向量。
• Σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的"膨胀控制"。这些是( MM^* )及 ( M^* M )的特征值的非负平方根，并与U和V的行向量相对应。

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SVD 的计算方法

SVD 与特征值

现在，假设矩阵 ( mathbf M_{m imes n} ) 的 SVD 分解是 ( mathbf M = mathbf UmathbfSigmamathbf V^{mathsf H}; )那么，我们有

$$
egin{aligned}
mathbf Mmathbf M^{mathsf H} &{}= mathbf UmathbfSigmamathbf V^{mathsf H}mathbf VmathbfSigma^{mathsf H}mathbf U^{mathsf H} = mathbf U(mathbfSigmamathbfSigma^{mathsf H})mathbf U^{mathsf H} \
mathbf M^{mathsf H}mathbf M &{}= mathbf VmathbfSigma^{mathsf H}mathbf U^{mathsf H}mathbf UmathbfSigmamathbf V^{mathsf H} = mathbf V(mathbfSigma^{mathsf H}mathbfSigma)mathbf V^{mathsf H}
end{aligned}
$$

这也就是说，( mathbf U ) 的列向量（左奇异向量），是( mathbf Mmathbf M^{mathsf H} ) 的特征向量；同时，( mathbf V ) 的列向量（右奇异向量），是 ( mathbf M^{mathsf H}mathbf M ) 的特征向量；另一方面，( mathbf M ) 的奇异值（( mathbfSigma ) 的非零对角元素）则是 ( mathbf Mmathbf M^{mathsf H} ) 或者 ( mathbf M^{mathsf H}mathbf M ) 的非零特征值的平方根。

如何计算 SVD

有了这些知识，我们就能手工计算出任意矩阵的 SVD 分解了；具体来说，算法如下

1. 计算 ( mathbf Mmathbf M^{mathsf H} ) 和 ( mathbf M^{mathsf H}mathbf M )；
2. 分别计算 ( mathbf Mmathbf M^{mathsf H} ) 和 ( mathbf M^{mathsf H}mathbf M ) 的特征向量及其特征值；
3. ( mathbf Mmathbf M^{mathsf H} ) 的特征向量组成 ( mathbf U )；而 ( mathbf M^{mathsf H}mathbf M ) 的特征向量组成 ( mathbf V )；
4. 对 ( mathbf Mmathbf M^{mathsf H} ) 和 ( mathbf M^{mathsf H}mathbf M ) 的非零特征值求平方根，对应上述特征向量的位置，填入 ( mathbfSigma ) 的对角元。

实际计算看看

现在，我们来试着计算 ( mathbf M = egin{bmatrix}2 & 4 \ 1 & 3 \ 0 & 0 \ 0 & 0end{bmatrix} ) 的奇异值分解。计算奇异值分解，需要计算 ( mathbf M ) 与其共轭转置的左右积；这里主要以 ( mathbf Mmathbf M^{mathsf H} ) 为例。
首先，我们需要计算 ( mathbf Mmathbf M^{mathsf H} )，

$$
mathbf W = mathbf Mmathbf M^{mathsf H} = egin{bmatrix}2 & 4 \ 1 & 3 0 & 0 \ 0 & 0end{bmatrix}egin{bmatrix}2 & 1 & 0 & 0 \ 4 & 3 & 0 & 0end{bmatrix} = egin{bmatrix}20 & 14 & 0 & 0 \ 14 & 10 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0end{bmatrix}.
$$

现在，我们要求 ( mathbf W ) 的特征值与特征向量。根据定义( mathbf Wvec x = lambda vec x )；因此 ( (mathbf W - lambdamathbf I)vec x = vec 0 )。这也就是说

$$
egin{bmatrix}
20 - lambda & 14 & 0 & 0 \
14 & 10 - lambda & 0 & 0 \
0 & 0 & -lambda & 0 \
0 & 0 & 0 & -lambda
end{bmatrix}vec x = vec 0.
$$

根据线性方程组的理论，若要该关于( vec x ) 的方程有非零解，则要求系数矩阵的行列式为 0；也就是

$$
egin{vmatrix}
20 - lambda & 14 & 0 & 0 \
14 & 10 - lambda & 0 & 0 \
0 & 0 & -lambda & 0 \
0 & 0 & 0 & -lambda
end{vmatrix} =
egin{vmatrix}
20 - lambda & 14 \
14 & 10 - lambda \
end{vmatrix}egin{vmatrix}
-lambda & 0 \
0 & -lambda \
end{vmatrix}
= 0,
$$

这也就是 ( igl((20 - lambda)(10 - lambda) - 196igr)lambda^2 = 0)；解得 (lambda_1 = lambda_2 = 0 ), ( lambda_{3} = 15 + sqrt{221} approx 29.866 ), ( lambda_{4} = 15 - sqrt{221} approx 0.134 )。将特征值代入原方程，可解得对应的特征向量；这些特征向量即作为列向量，形成矩阵

$$mathbf U = egin{bmatrix}-0.82 & -0.58 & 0 & 0 \ -0.58 & 0.82 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1end{bmatrix}.$$

同理可解得（注意，( mathbf Mmathbf M^{mathsf T} ) 和 ( mathbf M^{mathsf T}mathbf M ) 的特征值相同）

$$mathbf V = egin{bmatrix}-0.40 & -0.91 \ -0.91 & 0.40end{bmatrix}.$$

以及 ( mathbfSigma ) 上的对角线元素由 ( mathbf W ) 的特征值的算术平方根组成；因此有

$$mathbfSigma = egin{bmatrix}5.46 & 0 \ 0 & 0.37 \ 0 & 0 \ 0 & 0end{bmatrix}.$$

因此我们得到矩阵 ( mathbf M ) 的 SVD 分解（数值上做了近似）：

$$egin{bmatrix}2 & 4 \ 1 & 3 \ 0 & 0 \ 0 & 0end{bmatrix} approx egin{bmatrix}-0.82 & -0.58 & 0 & 0 \ -0.58 & 0.82 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1end{bmatrix}egin{bmatrix}5.46 & 0 \ 0 & 0.37 \ 0 & 0 \ 0 & 0end{bmatrix}egin{bmatrix}-0.40 & -0.91 \ -0.91 & 0.40end{bmatrix}$$

几何上的直观解释

我们先来看一个例子。假设 ( mathbf M ) 是一个 ( m imes n ) 的矩阵，而 ( mathbf x ) 是线性空间 ( mathbb K^n ) 中的向量，则 ( mathbf y = mathbf Mcdotmathbf x ) 是线性空间 ( mathbb K^m ) 中的向量。这样一来，矩阵 ( mathbb A ) 就对应了一个从( mathbb K^n ) 到 ( mathbb K^m ) 的变换( T: mathbb K^n o mathbb K^m )，具体来说既是 ( mathbf xmapsto mathbf Mcdotmathbf x )。这也就是说，在线性代数中，任意矩阵都能看做是一种变换。这样一来，我们就统一了矩阵和变换。

SVD 场景

隐性语义检索

信息检索-隐性语义检索（Lstent Semantic Indexing, LSI）或 隐形语义分析（Latent Semantic Analysis, LSA）
隐性语义索引：矩阵 = 文档 + 词语
最早的 SVD 应用之一，我们称利用 SVD 的方法为隐性语义索引（LSI）或隐性语义分析（LSA）。

推荐系统

1. 利用 SVD 从数据中构建一个主题空间。
2. 再在该空间下计算其相似度。(从高维-低维空间的转化，在低维空间来计算相似度，SVD 提升了推荐系统的效率。)

图像压缩

例如：32*32=1024 => 32*2+2*1+32*2=130(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。

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SVD 工作原理

矩阵分解

• 矩阵分解是将数据矩阵分解为多个独立部分的过程。
• 矩阵分解可以将原始矩阵表示成新的易于处理的形式，这种新形式是两个或多个矩阵的乘积。（类似代数中的因数分解）
• 举例：如何将12分解成两个数的乘积？（1，12）、（2，6）、（3，4）都是合理的答案。

SVD 是矩阵分解的一种类型，也是矩阵分解最常见的技术

• SVD 将原始的数据集矩阵 Data 分解成三个矩阵 U、∑、V
• 举例：如果原始矩阵 (Data_{m*n} ) 是m行n列，
  • (U_{m * k}) 表示m行k列
  • (∑_{k * k}) 表示k行k列
  • (V_{k * n}) 表示k行n列。

$$ Data_{m×n} = U_{m×k} * ∑_{k×k} * V_{k×n} $$

具体的案例：

$$
egin{vmatrix}
0 & -1.6 & 0.6 \
0 & 1.2 & 0.8 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
end{vmatrix} =
egin{vmatrix}
0.8 & 0.6 & 0 & 0 \
-0.6 & 0.8 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 \
end{vmatrix} *
egin{vmatrix}
2 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 \
end{vmatrix} *
egin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \
-1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
end{vmatrix}
$$

• 上述分解中会构建出一个矩阵∑，该矩阵只有对角元素，其他元素均为0(近似于0)。另一个惯例就是，∑的对角元素是从大到小排列的。这些对角元素称为奇异值。
• 奇异值与特征值(PCA 数据中重要特征)是有关系的。这里的奇异值就是矩阵 (Data * Data^T) 特征值的平方根。
• 普遍的事实：在某个奇异值的数目(r 个=>奇异值的平方和累加到总值的90%以上)之后，其他的奇异值都置为0(近似于0)。这意味着数据集中仅有 r 个重要特征，而其余特征则都是噪声或冗余特征。

SVD 算法特点

优点：简化数据，去除噪声，优化算法的结果
缺点：数据的转换可能难以理解
使用的数据类型：数值型数据

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推荐系统

推荐系统是利用电子商务网站向客户提供商品信息和建议，帮助用户决定应该购买什么产品，模拟销售人员帮助客户完成购买过程。

推荐系统场景

1. Amazon 会根据顾客的购买历史向他们推荐物品
2. Netflix 会向其用户推荐电影
3. 新闻网站会对用户推荐新闻频道

推荐系统要点

基于协同过滤(collaborative filtering) 的推荐引擎

• 利用Python 实现 SVD(Numpy 有一个称为 linalg 的线性代数工具箱)
• 协同过滤：是通过将用户和其他用户的数据进行对比来实现推荐的。
• 当知道了两个用户或两个物品之间的相似度，我们就可以利用已有的数据来预测未知用户的喜好。

基于物品的相似度和基于用户的相似度：物品比较少则选择物品相似度，用户比较少则选择用户相似度。【矩阵还是小一点好计算】

• 基于物品的相似度：计算物品之间的距离。【耗时会随物品数量的增加而增加】
• 由于物品A和物品C 相似度(相关度)很高，所以给买A的人推荐C。

用户/物品|物品A|物品B|物品C

• 基于用户的相似度：计算用户之间的距离。【耗时会随用户数量的增加而增加】
• 由于用户A和用户C 相似度(相关度)很高，所以A和C是兴趣相投的人，对于C买的物品就会推荐给A。

相似度计算

inA, inB 对应的是 列向量

1. 欧氏距离：指在m维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。二维或三维中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。
   • 相似度= 1/(1+欧式距离)
   • 相似度= 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB))
   • 物品对越相似，它们的相似度值就越大。
2. 皮尔逊相关系数：度量的是两个向量之间的相似度。
   • 相似度= 0.5 + 0.5 * corrcoef() 【皮尔逊相关系数的取值范围从 -1 到 +1，通过函数0.5 + 0.5 * corrcoef()这个函数计算，把值归一化到0到1之间】
   • 相似度= 0.5 + 0.5 * corrcoef(inA, inB, rowvar = 0)[0][1]
   • 相对欧氏距离的优势：它对用户评级的量级并不敏感。
3. 余弦相似度：计算的是两个向量夹角的余弦值。
   • 余弦值 = (A·B)/(||A||·||B||) 【余弦值的取值范围也在-1到+1之间】
   • 相似度= 0.5 + 0.5 * 余弦值
   • 相似度= 0.5 + 0.5 * ( float(inA.T * inB) / la.norm(inA) * la.norm(inB))
   • 如果夹角为90度，则相似度为0；如果两个向量的方向相同，则相似度为1.0。

代码实现

'''基于欧氏距离相似度计算，假定inA和inB 都是列向量
相似度=1/(1+距离),相似度介于0-1之间
norm：范式计算，默认是2范数，即:sqrt(a^2+b^2+...)
'''
def ecludSim(inA, inB):
    return 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB))


'''皮尔逊相关系数
范围[-1, 1]，归一化后[0, 1]即0.5 + 0.5 *
相对于欧式距离，对具体量级（五星三星都一样）不敏感皮尔逊相关系数
'''
def pearsSim(inA, inB):
    # 检查是否存在3个或更多的点不存在，该函数返回1.0，此时两个向量完全相关。
    if len(inA) < 3:
        return 1.0
    return 0.5 + 0.5 * corrcoef(inA, inB, rowvar=0)[0][1]


'''计算余弦相似度
如果夹角为90度相似度为0；两个向量的方向相同，相似度为1.0
余弦取值-1到1之间，归一化到0与1之间即：相似度=0.5 + 0.5*cosθ
余弦相似度cosθ=(A*B/|A|*|B|)
'''
def cosSim(inA, inB):
    num = float(inA.T*inB) # 矩阵相乘
    denom = la.norm(inA)*la.norm(inB) # 默认是2范数
    return 0.5 + 0.5*(num/denom)

推荐系统的评价

• 采用交叉测试的方法。【拆分数据为训练集和测试集】
• 推荐引擎评价的指标： 最小均方根误差(Root mean squared error, RMSE)，也称标准误差(Standard error)，就是计算均方误差的平均值然后取其平方根。
  • 如果RMSE=1, 表示相差1个星级；如果RMSE=2.5, 表示相差2.5个星级。

推荐系统原理

• 推荐系统的工作过程：给定一个用户，系统会为此用户返回N个最好的推荐菜。
• 实现流程大致如下：
  1. 寻找用户没有评级的菜肴，即在用户-物品矩阵中的0值。
  2. 在用户没有评级的所有物品中，对每个物品预计一个可能的评级分数。这就是说：我们认为用户可能会对物品的打分（这就是相似度计算的初衷）。
  3. 对这些物品的评分从高到低进行排序，返回前N个物品。

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项目实战: 餐馆菜肴推荐系统

假如一个人在家决定外出吃饭，但是他并不知道该到哪儿去吃饭，该点什么菜。推荐系统可以帮他做到这两点。

收集并准备数据

数据准备的代码实现

# 利用SVD提高推荐效果，菜肴矩阵
"""
行：代表人
列：代表菜肴名词
值：代表人对菜肴的评分，0表示未评分
"""
def loadExData3():
    return[[2, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
           [3, 3, 4, 0, 3, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
           [5, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],
           [4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],
           [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 4, 5, 0],
           [1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 0, 4, 5, 0]]

分析数据

这里不做过多的讨论(当然此处可以对比不同距离之间的差别)，通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并去除噪声。

'''分析 Sigma 的长度取值
根据自己的业务情况，就行处理，设置对应的 Singma 次数
通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并取出噪声。
'''
def analyse_data(Sigma, loopNum=20):
    # 总方差的集合（总能量值）
    Sig2 = Sigma**2
    SigmaSum = sum(Sig2)
    for i in range(loopNum):
        SigmaI = sum(Sig2[:i+1])
        print('主成分：%s, 方差占比：%s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(SigmaI/SigmaSum*100, '.2f')))

训练算法: 通过调用 recommend() 函数进行推荐

recommend() 会调用 基于物品相似度 或者是 基于SVD，得到推荐的物品评分。

基于物品相似度

基于物品相似度的推荐引擎代码实现

'''基于物品相似度的推荐引擎
descripte：计算某用户未评分物品中，以对该物品和其他物品评分的用户的物品相似度，然后进行综合评分
dataMat         训练数据集
user            用户编号
simMeas         相似度计算方法
item            未评分的物品编号
Returns: ratSimTotal/simTotal  评分（0～5之间的值）
'''
def standEst(dataMat, user, simMeas, item):
    # 得到数据集中的物品数目
    n = shape(dataMat)[1]
    # 初始化两个评分值
    simTotal = 0.0 ; ratSimTotal = 0.0
    # 遍历行中的每个物品（对用户评过分的物品遍历，并与其他物品进行比较）
    for j in range(n):
        userRating = dataMat[user, j]
        # 如果某个物品的评分值为0，则跳过这个物品
        if userRating == 0: # 终止循环
            continue
        # 寻找两个都评级的物品,变量overLap 给出两个物品中已被评分的元素索引ID
        # logical_and 计算x1和x2元素的真值。
        # print(dataMat[:, item].T.A, ':',dataMat[:, j].T.A )
        overLap = nonzero(logical_and(dataMat[:, item].A > 0, dataMat[:, j].A > 0))[0]
        # 如果相似度为0，则两着没有任何重合元素，终止本次循环
        if len(overLap) == 0:
            similarity = 0
        # 如果存在重合的物品，则基于这些重合物重新计算相似度。
        else:
            similarity = simMeas(dataMat[overLap, item], dataMat[overLap, j])
        # 相似度会不断累加，每次计算时还考虑相似度和当前用户评分的乘积
        # similarity  用户相似度，   userRating 用户评分
        simTotal += similarity
        ratSimTotal += similarity * userRating
    if simTotal == 0:
        return 0
    # 通过除以所有的评分总和，对上述相似度评分的乘积进行归一化，使得最后评分在0~5之间，这些评分用来对预测值进行排序
    else:
        return ratSimTotal/simTotal

基于SVD

基于SVD的代码实现

'''分析 Sigma 的长度取值
根据自己的业务情况，就行处理，设置对应的 Singma 次数
通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并取出噪声。
'''
def analyse_data(Sigma, loopNum=20):
    # 总方差的集合（总能量值）
    Sig2 = Sigma**2
    SigmaSum = sum(Sig2)
    for i in range(loopNum):
        SigmaI = sum(Sig2[:i+1])
        print('主成分：%s, 方差占比：%s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(SigmaI/SigmaSum*100, '.2f')))


'''基于SVD的评分估计
Args:
    dataMat         训练数据集
    user            用户编号
    simMeas         相似度计算方法
    item            未评分的物品编号
Returns:
    ratSimTotal/simTotal     评分（0～5之间的值）
'''
def svdEst(dataMat, user, simMeas, item):
    # 物品数目
    n = shape(dataMat)[1]
    # 对数据集进行SVD分解
    simTotal = 0.0 ;  ratSimTotal = 0.0
    # 奇异值分解,只利用90%能量值的奇异值，奇异值以NumPy数组形式保存
    U, Sigma, VT = la.svd(dataMat)
    # 分析 Sigma 的长度取值
    # analyse_data(Sigma, 20)

    # 如果要进行矩阵运算，就必须要用这些奇异值构建出一个对角矩阵
    Sig4 = mat(eye(4) * Sigma[: 4]) # eye对角矩阵
    # 利用U矩阵将物品转换到低维空间中，构建转换后的物品(物品+4个主要的特征)
    xformedItems = dataMat.T * U[:, :4] * Sig4.I # I 逆矩阵
    # print('dataMat', shape(dataMat))
    # print('U[:, :4]', shape(U[:, :4]))
    # print('Sig4.I', shape(Sig4.I))
    # print('VT[:4, :]', shape(VT[:4, :]))
    # print('xformedItems', shape(xformedItems))

    # 对于给定的用户，for循环在用户对应行的元素上进行遍历
    # 和standEst()函数的for循环一样，这里相似度计算在低维空间下进行的。
    for j in range(n):
        userRating = dataMat[user, j]
        if userRating == 0 or j == item:
            continue
        # 相似度的计算方法也会作为一个参数传递给该函数
        similarity = simMeas(xformedItems[item, :].T, xformedItems[j, :].T)
        # for 循环中加入了一条print语句，以便了解相似度计算的进展情况。如果觉得累赘，可以去掉
        # print('the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity))
        # 对相似度不断累加求和
        simTotal += similarity
        # 对相似度及对应评分值的乘积求和
        ratSimTotal += similarity * userRating
    if simTotal == 0:
        return 0
    else:
        # 计算估计评分
        return ratSimTotal/simTotal

排序获取最后的推荐结果

'''recommend函数推荐引擎，默认调用standEst函数，产生最高的N个推荐结果
Args:
    dataMat         训练数据集
    user            用户编号
    simMeas         相似度计算方法
    estMethod       使用的推荐算法
Returns:  返回最终 N 个推荐结果
'''
def recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=standEst):
    # 寻找未评级的物品,对给定的用户建立一个未评分的物品列表
    unratedItems = nonzero(dataMat[user, :].A == 0)[1] # .A: 矩阵转数组
    # 如果不存在未评分物品，那么就退出函数
    if len(unratedItems) == 0:
        return 'you rated everything'
    # 物品的编号和评分值
    itemScores = []
    # 在未评分物品上进行循环
    for item in unratedItems:
        # 获取 item 该物品的评分
        estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item)
        itemScores.append((item, estimatedScore))
    # 按照评分得分 进行逆排序，获取前N个未评级物品进行推荐
    return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[: N]

测试和项目调用

测试代码

# 计算相似度的方法
myMat = mat(loadExData3())
# 计算相似度的第一种方式
# print(recommend(myMat, 1, estMethod=svdEst))
# 计算相似度的第二种方式
# print(recommend(myMat, 1, estMethod=svdEst, simMeas=pearsSim))

# 默认推荐（菜馆菜肴推荐示例）
print(recommend(myMat, 2))

运行结果

菜馆菜肴推荐结果： [(3, 4.0), (5, 4.0), (6, 4.0)]

***Repl Closed***

分析结果，我们不难发现，分别对3烤牛肉，5鲁宾三明治、6印度烤鸡给我4星好评，推荐给我们的用户。

要点补充

基于内容(content-based)的推荐

1. 通过各种标签来标记菜肴
2. 将这些属性作为相似度计算所需要的数据
3. 这就是：基于内容的推荐。

构建推荐引擎面临的挑战

问题

• 1）在大规模的数据集上，SVD分解会降低程序的速度
• 2）存在其他很多规模扩展性的挑战性问题，比如矩阵的表示方法和计算相似度得分消耗资源。
• 3）如何在缺乏数据时给出好的推荐-称为冷启动【简单说：用户不会喜欢一个无效的物品，而用户不喜欢的物品又无效】

建议

• 1）在大型系统中，SVD分解(可以在程序调入时运行一次)每天运行一次或者其频率更低，并且还要离线运行。
• 2）在实际中，另一个普遍的做法就是离线计算并保存相似度得分。(物品相似度可能被用户重复的调用)
• 3）冷启动问题，解决方案就是将推荐看成是搜索问题，通过各种标签／属性特征进行基于内容的推荐。

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项目案例: 基于SVD的图像压缩

收集并准备数据

将文本数据转化为矩阵

'''图像压缩函数'''
def imgLoadData(filename):
    myl = []
    for line in open(filename).readlines():
        newRow = []
        for i in range(32):
            newRow.append(int(line[i]))
        myl.append(newRow)
    # 矩阵调入后，就可以在屏幕上输出该矩阵
    myMat = mat(myl)
    return myMat

分析数据: 分析Sigma的长度个数

通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并去除噪声。

'''分析 Sigma 的长度取值
根据自己的业务情况，就行处理，设置对应的 Singma 次数
通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并取出噪声。
'''
def analyse_data(Sigma, loopNum=20):
    # 总方差的集合（总能量值）
    Sig2 = Sigma**2
    SigmaSum = sum(Sig2)
    for i in range(loopNum):
        SigmaI = sum(Sig2[:i+1])
        print('主成分：%s, 方差占比：%s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(SigmaI/SigmaSum*100, '.2f')))

使用算法: 对比使用 SVD 前后的数据差异对比，对于存储大家可以试着写写

例如：32*32=1024 => 32*2+2*1+32*2=130(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。

'''打印矩阵
由于矩阵保护了浮点数，因此定义浅色和深色，遍历所有矩阵元素，当元素大于阀值时打印1，否则打印0
'''
def printMat(inMat, thresh=0.8):
    for i in range(32):
        for k in range(32):
            if float(inMat[i, k]) > thresh:
                print(1)
            else:
                print(0)
        print('')


'''实现图像压缩，允许基于任意给定的奇异值数目来重构图像
Args:
    numSV       Sigma长度
    thresh      判断的阈值
'''
def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):
    # 构建一个列表
    myMat = imgLoadData('./0_5.txt')

    print("****original matrix****")
    # 对原始图像进行SVD分解并重构图像e
    printMat(myMat, thresh)

    # 通过Sigma 重新构成SigRecom来实现
    # Sigma是一个对角矩阵，因此需要建立一个全0矩阵，然后将前面的那些奇异值填充到对角线上。
    U, Sigma, VT = la.svd(myMat)
    # SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV)))
    # for k in range(numSV):
    #     SigRecon[k, k] = Sigma[k]

    # 分析插入的 Sigma 长度
    # analyse_data(Sigma, 20)

    SigRecon = mat(eye(numSV) * Sigma[: numSV])
    reconMat = U[:, :numSV] * SigRecon * VT[:numSV, :]
    print("****reconstructed matrix using %d singular values *****" % numSV)
    printMat(reconMat, thresh)

参考文献

1. 奇异值分解
2. 中文维基百科
3. GitHub
4. 图书：《机器学习实战》
5. 图书：《自然语言处理理论与实战》
6. 强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用
7. 奇异值分解 SVD 的数学解释

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