Stirling数笔记

Updating....
这几个玩意儿要记的东西太多太乱所以写blog整理一下
虽然蒯的成分会比较多全部
我居然开始记得写blog了？？

第一类

这里讨论的是无符号类型的。
OEIS编号A130534

表示方法

(s(n,m))或者(egin{bmatrix}n \ mend{bmatrix})
注意前者是小写s

意义

(n)个元素的项目分作(m)个非空环排列的方法数目

求法

递归求解法

[egin{bmatrix}n\mend{bmatrix}=egin{bmatrix}n-1\m-1end{bmatrix}+(n-1)egin{bmatrix}n-1\mend{bmatrix} ]

这个就是说新建一个环排列或者插入已有的环排列
可怕 这很(O(n^2))

各种性质

(egin{bmatrix}n\1end{bmatrix}=(n-1)!)
(egin{bmatrix}n\2end{bmatrix}=(n-1)! imessum_{i=1}^{n-1}frac 1 i)
(sum_{i=0}^n egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}=n!)
(egin{bmatrix}n\n-1end{bmatrix}=inom{n}{2})
这里就不给出证明了
别的地方都有
也挺好记好想的
maybe

第二类

OEIS编号A008277

表示方法

(S(n,m))或者(left{egin{matrix}n \ mend{matrix} ight})
当然这里是大写S

意义

(n)个元素的集定义(m)个等价类的方法数目
。。。wiki害人
就是从环排列变成集合划分了
当然也要保证非空

求法

递归求解法

[egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix}=egin{Bmatrix}n-1\m-1end{Bmatrix}+megin{Bmatrix}n-1\mend{Bmatrix} ]

同样也可以解释，新建or插入已有的
再次(O(n^2))？？别啊
幸好这玩意儿能搞容斥，通项就有了

[egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix}=frac{1}{m!}sumlimits_{k=0}^{m}(-1)^kinom{m}{k}(m-k)^n ]

(O(n))求解不是梦
好吧只求一个用这个会快
最重要的是这个能卷，也好搞些别的？？？
稍微整理一下

[left{egin{matrix}n\mend{matrix} ight}=sum_{k=0}^mfrac{(-1)^k}{k!}frac{(m-k)^n}{(m-k)!} ]

就很舒服

Stirling 反演

两个柿子挺好记
但我暂时还搞不清具体是干嘛的。。。

[f(x) = sum_{i=0}^x egin{Bmatrix}x\iend{Bmatrix} g(i) Leftrightarrow g(x) = sum_{i=0}^x (-1) ^ {x - i}egin{bmatrix}x\iend{bmatrix} f(i) ]

[f(x) = sum_{i=0}^x egin{bmatrix}x\iend{bmatrix} g(i) Leftrightarrow g(x) = sum_{i=0}^x (-1) ^ {x - i}egin{Bmatrix}x\iend{Bmatrix} f(i) ]

Bell数

OEIS编号A000110
就是把第二类stirling数的集合划分个数限制去掉了
只限制了基数
也就是

[B_n=sum_{i=0}^negin{Bmatrix}n\iend{Bmatrix} ]

当然也可以直接(O(n))递推

[B_{n+1}=sum_{k=0}^ninom{n}{k}B_{k} ]

参考

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https://www.cnblogs.com/NaVi-Awson/p/9242645.html
https://www.cnblogs.com/ezoiLZH/p/9424911.html
https://www.cnblogs.com/owenyu/p/6724661.html
https://blog.csdn.net/winycg/article/details/70233717