【康拓展开】及其在求全排列第k个数中的应用

题目：给出n个互不相同的字符, 并给定它们的相对大小顺序,这样n个字符的所有排列也会有一个顺序. 现在任给一个排列,求出在它后面的第i个排列.
这是一个典型的康拓展开应用，首先我们先阐述一下什么是康拓展开。

（1）康拓展开

　　所谓康拓展开是指把一个整数X展开成如下形式：

　　X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!。（其中，a为整数，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)）

（2）应用实例

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。他们间的对应关系可由康托展开来找到。

　　1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：

　　第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! ；

　　第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，即1未出现在前面的低位当中，所以只有一个数2 1*2! ；

　　第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，即1未出现在前面的低位当中，所以有0个数 0*1! ；

　　所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

其代码实现为：

#include <iostream>
using namespace std;

int Cantor(int *s,int n);  //康托展开，判断给定的排列位于全排列中的第几个
long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //表示阶乘运算的结果
//long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!};

int main(int argc,char *argv)
{
    int s[4]={2,1,3,4};   //表示排列2134
    int len=4;        //表示数列中数字数目
    int index=Cantor(s,len);
    cout<<index<<endl;
    return 0;
}
int Cantor(int *s,int n)
{
    int i,j,num,temp;
    num=0;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        temp=0;     //temp记录当前数位前面的低数位中小于当前位数上的数字的个数
        for(j=i+1;j<n;j++)
            if(s[j]<s[i])
                temp++;
        num+=fac[n-1-i]*temp;  //乘以相应的阶乘
    }
    return num;
}

如何判断给定一个位置，输出该位置上的数列，康拓展开的逆运算，例如：

　　{1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕，请找出第96个数：

 

　　 首先用96-1得到95

 　　用95去除4! 得到3余23，即有3个数比该数位上的数字小，则该数位的数字为4；

 　　用23去除3! 得到3余5，即有3个数比该数位上的数字小，理应为4，但4已在前面的高位中出现过，所以该数位的数字为5；

 　　用5去除2!得到2余1，即有2个数比该数位上的数字小，则该数位的数字为3；

 　　用1去除1!得到1余0，即有1个数比该数位上的数字小，则该数位的数字为2；

 　　最后一个数只能是1；

 　　所以这个数是45321

其代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

void CantorReverse(int index,int *p,int n);  //康托展开逆用，判断给定的位置中的排列
long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //表示阶乘运算的结果
//long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!};

int main(int argc,char *argv)
{
    int len=5; 
    int *s=(int *)malloc(len*sizeof(int));
    CantorReverse(96,s,len);  //有数字{12345}组成的所有排列中，求出第96个排列的顺序
    for(int i=0;i<len;i++)
        cout<<s[i];
    cout<<endl;
    free(s);
    return 0;
}
void CantorReverse(int index,int *p,int n)
{
    index--;     //勿丢
    int i,j;
    bool hash[10]={0};
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        int tmp=index/fac[n-1-i];  //tmp表示有tmp个数字比当前位置上的数字小
        for(j=0;j<=tmp;j++)
            if(hash[j]) tmp++;
        p[i]=tmp+1;
        hash[tmp]=1; 
        index%=fac[n-1-i];
    }
    return;
}

（2）题目解决

　　通过以上分析，则本章开头提出的题目就迎刃而解了，先通过给定的序列，求出所在位置，再加上i，得到 i 以后的位置，最后根据位置求出序列。相信大家能自己写出程序，在此就不具体写出了。