复数
关于复数的一些常用知识和运算法则
定义与表示
首先令(i^2=-1)
复数是指能写成(a+bi)的数，其中(a)是实部，(b)是虚部，(i)为虚数单位。
四则运算
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
]
[(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i
]
运算律
满足加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律
复数与向量
可以将复数看成平面坐标系中以原点为起点的向量((a,b))。其中(x)轴称为实轴，(y)轴称为虚轴
复数的模
复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称作该复数的模。
即对于复数(z=a+bi)，它的模
[|z|=sqrt{a^2+b^2}
]
复数的幅角
在复数(z
eq 0)的情况下,以正实轴为始边,表示(z)的向量为终边的角( heta)称为(z)的幅角,记做(Argz= heta)
说明 任何一个复数(z
eq 0)都有无穷多个幅角。如果( heta_1)是其中的一个幅角，那么(z)的全部幅角可以表示为
[Argz= heta_1+2kpi
]
特殊地，当(z=0)时，幅角不确定
幅角主值 在(z(
eq 0))的幅角中，把满足(-pi< heta_0<pi)的( heta_0)叫做(Argz)的主值,记做( heta_0=argz)
欧拉公式
[e^{i heta}=cos heta+isin heta
]
当( heta=pi)时，有欧拉公式的特殊形式(e^{ipi}+1=0)
复数的三角表达与指数表达
利用直角坐标与极坐标的关系(egin{cases} x=rcos heta \ y = rsin heta end{cases})，复数可以表示为(z=r(cos heta+isin heta))。再利用欧拉公式,复数可以表示成(z=re^{i heta})
共轭复数
两个实部相等，虚部互为相反数的复数叫做共轭复数
性质
[|x+yi|=|x-yi|
]
[(x+yi)·(x-yi)=x^2+y^2
]
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