51Nod 最大公约数之和V1,V2,V3;最小公倍数之和V1,V2,V3

1040 最大公约数之和

给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6
1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15

输入

1个数N(N <= 10^9)

输出

公约数之和

输入样例

6

输出样例

15

题解

[sum_{i=1}^ngcd(i,n)=sum_{d|n}dvarphi(n) ]

暴力搞就行了。

1188 最大公约数之和 V2

给出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最大公约数之和。
相当于计算这段程序（程序中的gcd(i,j)表示i与j的最大公约数）：

G=0
for i=1 to N
    for j=i+1 to N
        G+=gcd(i,j)

输入
第1行：1个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 50000)
第2 - T + 1行：每行一个数N。(2 <= N <= 5000000)
输出
共T行，输出最大公约数之和。
输入样例
3
10
100
200000
输出样例
67
13015
143295493160

1237 最大公约数之和 V3

给出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最大公约数之和。
相当于计算这段程序（程序中的gcd(i,j)表示i与j的最大公约数）：
由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

G=0
for i=1 to N
    for j=1 to N
        G = (G + gcd(i,j)) mod 1000000007;

输入

输入一个数N。(2 <= N <= 10^10)

输出

输出G Mod 1000000007的结果。

输入样例

100

输出样例

31080

可以看出来，T2，T3转化一下就只有数据范围不同。

题解

[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^ngcd(i,j)\ =sum_{d=1}^ndsum_{i=1}^{lfloorfrac nd floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac nd floor}[gcd(i,j)=1]\ =sum_{d=1}^ndsum_{i=1}^{lfloorfrac nd floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac nd floor}sum_{d'|gcd(i,j)}mu(d)\ =sum_{d=1}^ndsum_{d'=1}^{lfloorfrac nd floor}mu(d')lfloorfrac n{dd'} floor^2 ]

整除分块两次，区别在于第二次。

• V2可以直接线性筛求出(mu)前缀和。
• V3必须使用杜教筛，让(mu * I)即可。

1363 最小公倍数之和

1.5 秒 131,072.0 KB 160 分 6 级题
给出一个n，求1-n这n个数，同n的最小公倍数的和。
例如：n = 6，1,2,3,4,5,6 同6的最小公倍数分别为6,6,6,12,30,6，加在一起 = 66。
由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

输入

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 50000)
第2 - T + 1行：T个数A[i](A[i] <= 10^9)

输出

共T行，输出对应的最小公倍数之和

输入样例

3
5
6
9

输出样例

55
66
279

---

这题跟[SPOJ LCMsum](https://www.cnblogs.com/autoint/p/9892650.html)是一样的，只不过数据范围不一样，所以推到后面的操作不一样。 ## [Star_Feel](https://www.cnblogs.com/Never-mind/p/9882196.html)的题解 原题相当于求$sum_{i=1}^{n}frac{i*n}{gcd(i,n)}$

先枚举(d=gcd(i,n))，然后化简得到

[n*sum_{d|n}sum_{i=1}^{frac{n}{d}}i[gcd(i,frac{n}{d})=1] ]

相当于求(1)到(n-1)中，与(n)互质的数和，设(y<x)，如果(gcd(y,x)=1)，那么(gcd(x-y,x)=1)，两式的贡献就是(x)了

所以(1)到(n-1)中，与(n)互质的数和为(frac{phi(n)*n}{2})，特殊的，如果(n=1,2)，则和为(1)

那么原式就等于

[n*sum_{d|n且d不为n}frac{frac{n}{d}*phi(frac{n}{d})}{2}+1 ]

再化简得到

[n+frac{n}{2}sum_{d|n且d>1}d*phi(d) ]

这样，这个式子就变成(O(sqrt{n}))，但是多组数据仍会超时

实际上我们将(n)质因数分解得到(n=prod_{i=1}^{x}p[i]^a[i])

因为(p[i])两两互质，所以可以转化为

[n+prod_{i=1}^{x}sum_{j=0}^{a[i]}phi(p[i]^j)*p[i]^j ]

根据欧拉函数的性质可以得到

[n+prod_{i=1}^{x}1+sum_{j=1}^{a[i]}(p[i]-1)*p[i]^{2j-1} ]

再根据等比数列求和公式得到

[n+prod_{i=1}^{x}1+(p[i]-1)*frac{p[i]^{2*a[i]+1}-p[i]}{p[i]^2-1}\ =n+prod_{i=1}^{x}1+frac{p[i]^{2*a[i]+1}-p[i]}{p[i]+1} ]

然后线筛素数加速质因数分解就可以过了，记得最后处理(1,2)的情况

1190 最小公倍数之和 V2

给出2个数a, b，求LCM(a,b) + LCM(a+1,b) + .. + LCM(b,b)。
例如：a = 1, b = 6，1,2,3,4,5,6 同6的最小公倍数分别为6,6,6,12,30,6，加在一起 = 66。
由于结果可能很大，输出Mod 10^9 + 7的结果。（测试数据为随机数据，没有构造特别坑人的Test）

输入

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 50000)
第2 - T + 1行：每行2个数a, b，中间用空格分隔(1 <= a <= b <= 10^9)

输出

共T行，输出对应的最小公倍数之和Mod 10^9 + 7的结果。

输入样例

3
1 6
10 15
41 90

输出样例

66
675
139860

Cold_Chair的题解

[ans = sum_{i = a}^b extrm{lcm}(i) \ = b*sum_{d | b} sum_{i = lfloor{ {a} over {d}} floor}^{lceil{ {b} over {d}} ceil} i * [gcd(i, { {b} over {d}}) = 1] \ = b*sum_{d | b} sum_{i = lfloor{ {a} over {d}} floor}^{lceil{ {b} over {d}} ceil} i * sum_{d' | gcd(i, { {b} over {d}})} μ(d') \ = b*sum_{d | b} sum_{d' | { {b} over {d}}} μ(d') * d' * sum_{i = lfloor{ {b} over {d }} floor}^{lceil{ {a} over {d}} ceil}i*[d' | i] \ = b*sum_{d | b} sum_{d' | { {b} over {d}}} μ(d') * d' * sum_{i = lfloor{ {b} over {d*d' }} floor}^{lceil{ {a} over {d * d'}} ceil}i \ = b*sum_{d | b} sum_{d' | { {b} over {d}}} μ(d') * d' * (lfloor{ {b} over {d*d' }} floor - lceil{ {a} over {d * d'}} ceil + 1) * (lfloor{ {b} over {d*d' }} floor + lceil{ {a} over {d * d'}} ceil) / 2 ]

设$T = d * d’ $

[= b*sum_{T | b}(lfloor{ {b} over {T}} floor - lceil{ {a} over {T}} ceil + 1) * (lfloor{ {b} over {T}} floor + lceil{ {a} over {T}} ceil) / 2 * sum_{d | T} μ(d) * d ]

我们观察一下$sum_{d | T} μ(d) * d ( 狄利克雷卷积做了这么多，轻松可得: 若)T = prod{p_i^{q_i}}$,那么

[sum_{d | T} μ(d) * d = prod{1-p_i} ]

1238 最小公倍数之和 V3

出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最小公倍数之和。

相当于计算这段程序（程序中的lcm(i,j)表示i与j的最小公倍数）：

由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

G=0
for i=1 to N
    for j=1 to N
        G = (G + lcm(i,j)) mod 1000000007;

输入

输入一个数N。(2 <= N <= 10^10)

输出

输出G Mod 1000000007的结果。

输入样例

4

输出样例

72

题解

[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n extrm{lcm}(i,j)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^nfrac{ij}{gcd(i,j)}\ =sum_{d=1}^ndsum_{i=1}^{lfloorfrac nd floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac nd floor}ij[gcd(i,j)=1]\ =sum_{d=1}^ndsum_{i=1}^{lfloorfrac nd floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac nd floor}ijsum_{d'|gcd(i,j)}mu(d)\ =sum_{d=1}^ndsum_{d'=1}^{lfloorfrac nd floor}mu(d')(d')^2left(sum_{i=1}^{lfloorfrac n{dd'} floor}i ight)^2 ]

然后就变成了LG3768 简单的数学题，外面多套了一个整除分块，不过不影响复杂度。（毒瘤）