小 Q 的序列
小 Q 喜欢在序列上数数。
定义一个序列 (a_{1ldots k}) 的权值为 (prod_{i = 1}^k(a_i + i))。
现在小 Q 有一个长度为 (n) 的序列 (c_{1ldots n})。
他想知道他的序列的所有 (2^n - 1) 个非空子序列的权值和。
由于答案很大，你只需要输出答案对 (998244353) 取模的结果。
(1 leq n leq 100000)
题解
https://www.cnblogs.com/yyf0309/p/12219139.html
https://www.cnblogs.com/weiyanpeng/p/11801162.html
考虑一下朴素DP方程：
[f(i,j)=f(i-1,j-1)(j+a_i)+f(i-1,j)
]
注意到这个式子当(a_i=0)的时候和第二类Stirling数的递归式比较像。
考虑令第二维为(j'=i-j)，那么有：
[f(i,j)=f(i-1,j)(i-j+a_i)+f(i-1,j-1)
]
类似斯特林数考虑组合意义。还是把前(i)个元素分到(j)个非空集合里面。新开集合就是(f(i-1,j-1))，不新开集合就是(-jf(i-1,j))。与第二类斯特林数不同，每个元素还可以不放进集合里面产生(i+a_i)的贡献。
分治FFT+exp即可。时间复杂度(O(nlog^2n))。
CO int N=1<<18;
int omg[2][N],rev[N];
int fac[N],inv[N],ifac[N];
void NTT(poly&a,int dir){
int lim=a.size(),len=log2(lim);
for(int i=0;i<lim;++i){
int r=rev[i]>>(18-len);
if(i<r) swap(a[i],a[r]);
}
for(int i=1;i<lim;i<<=1)
for(int j=0;j<lim;j+=i<<1)for(int k=0;k<i;++k){
int t=mul(omg[dir][N/(i<<1)*k],a[j+i+k]);
a[j+i+k]=add(a[j+k],mod-t),a[j+k]=add(a[j+k],t);
}
if(dir){
int ilim=fpow(lim,mod-2);
for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],ilim);
}
}
poly operator~(poly a){
int n=a.size();
poly b={fpow(a[0],mod-2)};
a.resize(1<<(int)ceil(log2(n)));
for(int lim=2;lim<2*n;lim<<=1){
poly c(a.begin(),a.begin()+lim);
c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(2+mod-mul(c[i],b[i]),b[i]);
NTT(b,1),b.resize(lim);
}
return b.resize(n),b;
}
poly log(poly a){
int n=a.size();
poly b=~a;
for(int i=0;i<n-1;++i) a[i]=mul(a[i+1],i+1);
a.resize(n-1);
int lim=1<<(int)ceil(log2(2*n-2));
a.resize(lim),NTT(a,0);
b.resize(lim),NTT(b,0);
for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
NTT(a,1),a.resize(n);
for(int i=n-1;i>=1;--i) a[i]=mul(a[i-1],inv[i]);
assert(n-1<N);
return a[0]=0,a;
}
poly exp(poly a){
int n=a.size();
poly b={1};
a.resize(1<<(int)ceil(log2(n)));
for(int lim=2;lim<2*n;lim<<=1){
b.resize(lim);poly c=log(b);
c[0]=add(1+a[0],mod-c[0]);
for(int i=1;i<lim;++i) c[i]=add(a[i],mod-c[i]);
c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(c[i],b[i]);
NTT(b,1),b.resize(lim);
}
return b.resize(n),b;
}
poly operator*(poly a,poly b){
int n=a.size()+b.size()-1,lim=1<<(int)ceil(log2(n));
a.resize(lim),NTT(a,0);
b.resize(lim),NTT(b,0);
for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
NTT(a,1),a.resize(n);
return a;
}
int a[N];
poly solve(int l,int r){
if(l==r) return poly{1,add(a[l],l)};
int mid=(l+r)>>1;
return solve(l,mid)*solve(mid+1,r);
}
int main(){
omg[0][0]=1,omg[0][1]=fpow(3,(mod-1)/N);
omg[1][0]=1,omg[1][1]=fpow(omg[0][1],mod-2);
rev[0]=0,rev[1]=1<<17;
fac[0]=fac[1]=1;
inv[0]=inv[1]=1;
ifac[0]=ifac[1]=1;
for(int i=2;i<N;++i){
omg[0][i]=mul(omg[0][i-1],omg[0][1]);
omg[1][i]=mul(omg[1][i-1],omg[1][1]);
rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<17;
fac[i]=mul(fac[i-1],i);
inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
}
int n=read<int>();
for(int i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
poly f=solve(1,n),g(n+1);
for(int i=1;i<=n;++i) g[i]=mul(ifac[i],(i-1)%2==1?mod-1:1);
g=exp(g);
int ans=0;
for(int i=0;i<=n;++i) ans=add(ans,mul(f[i],mul(g[n-i],fac[n-i])));
write(add(ans,mod-1),'
'); // empty set
return 0;
}