浅谈离散化

·什么是离散化？

离散化，把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率。
通俗的说，离散化是在不改变数据相对大小的条件下，对数据进行相应的缩小。

·为什么要用、什么时候要用离散化呢？

如果让你吧1000个1到1000的数放到桶里，那么非常简单，直接开一个大小为1000的数组，然后在里面统计就可以了。
但是，如果吧这1000个数的大小改为1到1000000000呢？很显然，直接开一个大小为1000000000的数组去统计是不现实的，直接MLE。这时，我们就需要用到离散化了。（当然，这只是一个小例子）

·我们怎么去实现离散化呢？

对于一个数组a，我们可以用另外一个数组去记录其中每个数的大小关系（如数字b在a中为第k大），这样就可以在新得到的数组中查询每个数的大小关系。这样，我们就达到了离散化的目的。而且，我们可以利用这个大小关系来得到之前原数组对应位置的数字。

·具体该怎么用代码实现呢？

为了实现离散化，我们需要用到unique和lower_bound这两个函数。

unique

unique可以统计某数组中不同元素的个数，如我们想用cnt去记录长度为n的数组a中有几个不同的元素，则可以用到unique，代码为

cnt = unique(a + 1, a + n + 1) - a - 1

lower_bound

其实还有一个叫upper_bound的函数

lower_bound可以返回某个元素在某个数组中是第几大的。
例如，如你想用ans去记录数字b在长度为n数组a中是第几大的，那么就可以通过lower_bound去实现，代码为

ans = lower_bound(a + 1, a + n + 1, b) - a;

附一下完整代码：

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#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int n,cnt,ans,a[1000],b[1000],x[1000]; int mysort(int a,int b) {return a < b;} int main() { cin >> n; for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]; //输入 for(int i = 1; i <= n; i++) x[i] = a[i]; //用x记录a，方便后续操作 sort(x + 1, x + n + 1, mysort); //排序 对于统计来书可有可无，但方便去重和还原 cnt = unique(x + 1, x + n + 1) - x - 1; //统计x中不同颜色的个数 for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] = lower_bound(x + 1, x + n + 1, a[i]) - x; //统计每个元素在原数组的大小位置 cout << "cnt = " << cnt << endl; //查看不同元素的个数 for(int i = 1; i <= n; i++) cout << b[i] << " "; //查看离散化后的数组 cout << endl; for(int i = 1; i <= n; i++) cout << x[b[i]] << " "; //还原数组a cout << endl; return 0; }